
- •§1. Вихідні поняття та рівняння теорії електромагнетизму. ..................................5
- •§2. Заряди, струми, електромагнітні поля...............................................................16
- •§3. Рівняння Максвелла............................................................................................18
- •§4. Моделювання електромагнітних властивостей матеріальних середовищ.....25
- •§6. Енергетичні співвідношення для електромагнітних полів..............................33
- •§7. Диференціальні рівняння теорії електромагнетизму другого порядку..........39
- •§8. Аналітичні методи аналізу електродинамічних систем..................................45
- •§1. Вихідні поняття та рівняння теорії електромагнетизму.
- •1.1. Математичний апарат теорії поля.
- •1.2. Лінійні перетворення, які використовуються у теорії поля.
- •1.3. Поля та операції векторного аналізу.
- •1.4. Інтегральні формули векторного аналізу.
- •§2. Заряди, струми, електромагнітні поля.
- •2.1. Заряди та струми.
- •2.2. Електромагнетизм та електромагнітне поле.
- •§3. Рівняння Максвелла.
- •3.1. Рівняння Максвелла в диференціальній формі.
- •3.2. Система рівнянь Максвелла в інтегральній формі.
- •3.3. Зміст першого рівняння Максвелла.
- •3.4. Друге рівняння Максвелла як узагальнений закон електромагнітної індукції.
- •3.5. Зміст третього рівняння Максвелла.
- •3.6. Четверте рівняння Максвелла.
- •§4. Моделювання електромагнітних властивостей матеріальних середовищ.
- •4.1. Матеріальні рівняння.
- •4.2. Поляризація і намагнічування.
- •4.3. Електропровідність. Провідники та діелектрики.
- •§5. Поля на границях розділу середовищ. Граничні умови для векторів , , і .
- •5.1. Поля, заряди на границях розділу.
- •5.2. Граничні умови для вектора індукції електричного поля.
- •5.3. Граничні умови для вектора напруженості електричного поля.
- •5.4. Граничні умови для векторів магнітного поля.
- •§6. Енергетичні співвідношення для електромагнітних полів.
- •6.1. Закон Джоуля-Ленца.
- •6.2. Баланс енергії поля.
- •6.3. Енергія електромагнітного поля.
- •Задачі до §4-6.
- •§7. Диференціальні рівняння теорії електромагнетизму другого порядку.
- •7.1. Рівняння Даламбера. Хвильове рівняння.
- •7.2. Електромагнітні потенціали.
- •7.3. Електричний та магнітний вектори Герца.
- •§8. Аналітичні методи аналізу електродинамічних систем.
- •8.1. Гармонічні коливання та комплексні амплітуди.
- •8.2. Рівняння Максвелла відносно комплексних амплітуд.
- •8.3. Загальні уявлення про хвильові процеси.
- •8.4. Плоскі гармонічні електромагнітні хвилі. Загальний розв’язок хвильового рівняння.
- •8.5. Електромагнітні хвилі у повздовжньо-однорідних структурах.
5.2. Граничні умови для вектора індукції електричного поля.
Покажемо, що для вектора індукції електричного поля на поверхні розділу середовищ 1 та 2 мають місце наступні граничні умови:
.
Д
ля
доведення твердження використаємо
третє рівняння Максвелла у інтегральній
формі (теорему Гаусса):
.
Виберемо поверхню інтегрування S
навколо точки М у вигляді циліндра
висотою Δh
і площею
основи
ΔS,
частина якої знаходиться у підпросторі
1, а інша – у підпросторі 2 (рис. 17). Об'єм
циліндра є настільки малим, що поле в
середині циліндра можна вважати
однорідним:
.
Оскільки інтеграл у лівій частині рівняння Максвелла визначає потік вектора через поверхню S, перепишемо рівняння у наступному вигляді:
,
де q – заряд, який знаходиться в об’ємі циліндра. Загальний потік Ф складається із потоків відповідно через поверхні верхньої та нижньої основ циліндра Ф1, Ф2, і потоку через бічну поверхню Фδ:
.
Скористаємось означенням потоку та постійністю вектора індукції електричного поля для того, щоб подати рівняння Максвелла у вигляді:
.
Розкриємо скалярні добутки із врахуванням орієнтації вектора зовнішньої нормалі до поверхні циліндра (нормаль будується до нижньої і верхньої основ, до бокової поверхні (рис.17)):
.
Зменшуємо
висоту циліндра Δh.
Очевидно, що при прямуванні
верхня і нижня основи циліндра співпадуть.
Разом з цим зменшується потік через
бокову поверхню Фδ
і його граничне значення дорівнює нулю.
Заряди, які знаходяться в об’ємі ΔV,
при цьому до розгляду не приймаються,
оскільки
.
Таким чином, у лівій частині виразу
залишаються перші два доданки, а у
правій частині – заряд q,
який знаходиться на поверхні розділу.
Врахуємо те, що
.
Остаточно:
.
Отже, у точках границі розділу середовищ нормальна компонента вектора електричної індукції поля має розрив. Величина стрибка дорівнює густині поверхневого заряду.
Якщо
поверхневий заряд на границі розділу
відсутній, то вектори неперервні (
).
Відомо, що цей випадок реалізується для
металів. На поверхні діелектрика завжди
спостерігається розрив нормальної
компоненти поля.
5.3. Граничні умови для вектора напруженості електричного поля.
На границі розділу середовищ 1 і 2 (рис. 18) для вектора напруженості електричного поля виконуються наступні умови:
.
Це
означає, що тангенціальна компонента
вектора
при переході через границю розділу
середовищ неперервна:
.
Часто використовують еквівалентну
формулу:
.
Друга форма зручніша, оскільки орт
вибирається
однозначною.
О
тримаємо
граничні умови для довільної точки N
поверхні розділу (рис.18).
Для
цього побудуємо площину Р,
в якій будуть лежати орти нормалі
і дотичної
.
Вибираємо на площині Р
деякий контур L
(на рис.18 контур позначено ABCD),
який охоплює точку N.
Для зручності контур має форму прямокутника
із довжиною сторони |AB|=Δl
і висотою |BC|=Δh.
Необхідно,
щоб верхня частина контуру знаходилась
в першому середовищі, а нижня – в другому.
Контур ABCD
повинен бути настільки малим, щоб
напруженість поля в межах контуру не
змінювалась:
.
Для
виведення граничних умов скористаємось
другим рівнянням Максвела у інтегральній
формі:
.
Розрахуємо циркуляцію у лівій частині рівності:
Врахуємо постійне значення вектора напруженості поля в межах контуру, орієнтацію орта і напрямок проходу контуру, отримуємо:
Поділимо
ліву і праву частини на Δl,
після чого знайдемо границю останнього
виразу при
.
Третій доданок у лівій частині рівності
зникне. Одночасно вимагаємо, щоб
.
Очевидно, що при цьому контур буде
поступово стягуватись до точки N
і потік вектора
в правій частині рівняння Максвелла
також прямує до нуля. Таким чином,
приходимо до рівняння:
.
Орт вибирався довільним чином, отже істинність отриманого твердження не залежить від орієнтації цього вектора.
Можна
визначити граничні умови для вектора
напруженості електричного поля у більш
зручній формі:
.
Достовірність
останнього твердження можна легко
встановити, скориставшись очевидним
співвідношенням:
,
підстановка якого у граничні умови,
дозволяє отримати вираз:
.
Маємо змішаний добуток векторів, до
якого застосували правило перестановки
векторів. Оскільки
,
то потрібно вимагати, щоб
.