5.2. Граничні умови для вектора індукції електричного поля.

Покажемо, що для вектора індукції електричного поля на поверхні розділу середовищ 1 та 2 мають місце наступні граничні умови:

.

Д ля доведення твердження використаємо третє рівняння Максвелла у інтегральній формі (теорему Гаусса): . Виберемо поверхню інтегрування S навколо точки М у вигляді циліндра висотою Δh і площею основи ΔS, частина якої знаходиться у підпросторі 1, а інша – у підпросторі 2 (рис. 17). Об'єм циліндра є настільки малим, що поле в середині циліндра можна вважати однорідним: .

Оскільки інтеграл у лівій частині рівняння Максвелла визначає потік вектора через поверхню S, перепишемо рівняння у наступному вигляді:

,

де q – заряд, який знаходиться в об’ємі циліндра. Загальний потік Ф складається із потоків відповідно через поверхні верхньої та нижньої основ циліндра Ф₁, Ф₂, і потоку через бічну поверхню Ф_δ:

.

Скористаємось означенням потоку та постійністю вектора індукції електричного поля для того, щоб подати рівняння Максвелла у вигляді:

.

Розкриємо скалярні добутки із врахуванням орієнтації вектора зовнішньої нормалі до поверхні циліндра (нормаль будується до нижньої і верхньої основ, до бокової поверхні (рис.17)):

.

Зменшуємо висоту циліндра Δh. Очевидно, що при прямуванні верхня і нижня основи циліндра співпадуть. Разом з цим зменшується потік через бокову поверхню Ф_δ і його граничне значення дорівнює нулю. Заряди, які знаходяться в об’ємі ΔV, при цьому до розгляду не приймаються, оскільки . Таким чином, у лівій частині виразу залишаються перші два доданки, а у правій частині – заряд q, який знаходиться на поверхні розділу. Врахуємо те, що . Остаточно:

.

Отже, у точках границі розділу середовищ нормальна компонента вектора електричної індукції поля має розрив. Величина стрибка дорівнює густині поверхневого заряду.

Якщо поверхневий заряд на границі розділу відсутній, то вектори неперервні ( ). Відомо, що цей випадок реалізується для металів. На поверхні діелектрика завжди спостерігається розрив нормальної компоненти поля.

5.3. Граничні умови для вектора напруженості електричного поля.

На границі розділу середовищ 1 і 2 (рис. 18) для вектора напруженості електричного поля виконуються наступні умови:

.

Це означає, що тангенціальна компонента вектора при переході через границю розділу середовищ неперервна: . Часто використовують еквівалентну формулу: . Друга форма зручніша, оскільки орт вибирається однозначною.

О тримаємо граничні умови для довільної точки N поверхні розділу (рис.18).

Для цього побудуємо площину Р, в якій будуть лежати орти нормалі і дотичної . Вибираємо на площині Р деякий контур L (на рис.18 контур позначено ABCD), який охоплює точку N. Для зручності контур має форму прямокутника із довжиною сторони |AB|=Δl і висотою |BC|=Δh.

Необхідно, щоб верхня частина контуру знаходилась в першому середовищі, а нижня – в другому. Контур ABCD повинен бути настільки малим, щоб напруженість поля в межах контуру не змінювалась: .

Для виведення граничних умов скористаємось другим рівнянням Максвела у інтегральній формі: .

Розрахуємо циркуляцію у лівій частині рівності:

Врахуємо постійне значення вектора напруженості поля в межах контуру, орієнтацію орта і напрямок проходу контуру, отримуємо:

Поділимо ліву і праву частини на Δl, після чого знайдемо границю останнього виразу при . Третій доданок у лівій частині рівності зникне. Одночасно вимагаємо, щоб . Очевидно, що при цьому контур буде поступово стягуватись до точки N і потік вектора в правій частині рівняння Максвелла також прямує до нуля. Таким чином, приходимо до рівняння:

.

Орт вибирався довільним чином, отже істинність отриманого твердження не залежить від орієнтації цього вектора.

Можна визначити граничні умови для вектора напруженості електричного поля у більш зручній формі: .

Достовірність останнього твердження можна легко встановити, скориставшись очевидним співвідношенням: , підстановка якого у граничні умови, дозволяє отримати вираз: . Маємо змішаний добуток векторів, до якого застосували правило перестановки векторів. Оскільки , то потрібно вимагати, щоб .