2.7. Аналитический метод кинематического анализа
2.7.1. Общие сведения о методе
Графический (метод диаграмм) и графоаналитический методы (метод планов скоростей и ускорений) кинематического анализа механизмов имеют недостатки: невысокая точность, определяемая точностью графических построений, и большая трудоёмкость. При иcпользовании графического метода необходимо построить диаграммы перемещений, скоростей и ускорений для каждой исследуемой точки механизма, а при использовании графоаналитического метода – несколько планов скоростей и ускорений механизма, чтобы определить динамику изменения скорости и ускорения интересующих нас точек (т.е. при различных положениях механизма).
Эти недостатки отсутствуют в аналитическом методе. Но при этом необходимо составлять достаточно сложные аналитические зависимости (формулы) и иметь возможность решать их с использованием компьютерных техники и технологии, что в последнее время возможно и доступно.
Методы аналитического исследования:
1) метод замкнутых векторных контуров (метод Зиновьева) удобен для кинематического анализа практически всех используемых в технике несложных рычажных механизмов;
2) метод преобразования координат (метод Морошкина) удобен для кинематического анализа многозвенных механизмов типа манипуляторов промышленных роботов.
Прежде чем говорить об аналитическом методе, введем некоторые понятия и определения.
2.7.2. Функция положения. Аналог скорости. Аналог ускорения
Положение любого звена механизма может определяться параметрами: углом К относительно какой-либо координатной оси или координатами ХК и YК (рис. 2.6).
Функция положения – это аналитическая зависимость положения или координаты К-го звена (К, ХК или YК ) от положения ведущего звена 1, т.е. К (1) или XK(1) и YK(1), где К, XK и YK – координаты, определяющие положение К-го звена (ведомого), а угол j1 – угол, характеризующий положение ведущего звена.
Рис. 2.6. Схема механизма
Аналог скорости. Угловая скорость К-го звена определяется зависимостью:
,
(2.3)
где
– аналог скорости К-го звена
(первая передаточная функция) для
вращающегося звена, величина безразмерная;
и
–
аналоги скорости К-го звена,
движущегося поступательно, величины
безразмерные.
Аналог ускорения. Угловая скорость К-го звена определяется зависимостью, получаемой дифференцированием уравнения (2.3) по dt:
При дифференцировании предполагается, что угловая скорость К-го звена к определяется зависимостью:
,
а угол к является функцией угла 1:
.
Величина
– аналог ускорения К-го звена,
совершающего вращательное движение,
величины
и
– аналоги ускорения К-го звена,
двигающегося поступательно, в проекциях
на оси X и Y.
Введение в кинематический анализ понятий аналогов отделяет геометрические свойства механизма от кинематических.
Величину
называют ещё передаточным отношением,
так как выражение
можно преобразовать, умножив и разделив
его на величину dt:
.
Отношение
угловых скоростей в механике называют
передаточным отношением
.
Аналог скорости звена также называют первой передаточной функцией.
Задачи кинематического анализа и пути их аналитического решения приведены в таблице 2.
Таблица 2.1
Задачи кинематического анализа
Функции положения |
Задача о скоростях |
Задача об ускорениях |
Определить
функции положения:
|
Определение аналогов скоростей
Вычисление скоростей
|
Определение аналогов ускорений
Вычисление ускорений
|
Как следует из приведенной таблицы, для решения задачи о положениях звеньев исследуемого механизма необходимо найти функции положения (К или ХК и YК ), предварительно составив векторное уравнение замкнутого векторного контура кинематической цепи и уравнения проекций его на координатные оси Х и Y. Из этих уравнений находят функции положения (зависимости положений исследуемого звена от положения ведущего звена). При известном (заданном) законе движения ведущего звена задаются шагом и вычисляют координаты исследуемых звеньев (угловые координаты для вращающегося звена и прямоугольные для звена, совершающего возвратно-поступательное движение).
Для решения задачи о скоростях необходимо найти аналоги скоростей исследуемых звеньев и, умножив их на угловую скорость ведущего звена, получить формулы расчета искомых скоростей.
Для решения задачи об ускорениях находят также аналоги ускорений звеньев и по формулам, приведенным в таблице, находят величины ускорений. Ниже приводится пример кинематического анализа кривошипно-ползунного механизма аналитическим методом.