4.3. Уравнение движения машины в форме кинетической энергии

Рассмотрим состояние механизма при двух различных положениях ведущего звена, разделяемых каким-либо промежутком времени dt или углом dφ поворота ведущего звена – кривошипа (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Кинематические и динамические параметры

механизма при различных положениях звена приведения

При положении кривошипа φ₀ угловая скорость звена приведения – ω₀, I_пр.0 – приведенный момент инерции механизма в рассматриваемом положении.

При положении φ₁= φ₀+dφ угловая скорость звена приведения – ω₁, I_пр.1 – приведенный момент инерции механизма.

Изменение кинетической энергии механизма ΔЕ за этот промежуток времени будет равно разности работ сил движущих А_дв и сил сопротивления А_сопр, выполненных за это время (или избыточной работе ):

ΔЕ = А_дв- А_сопр= А_изб. (4.4)

ΔЕ = Е₁ - Е₀ = , (4.5)

где Е₀ и Е₁ – величины кинетических энергий механизма при положениях φ₀ и φ₁ кривошипа.

А_дв = , (4.6)

А_сопр = , (4.7)

где М_дв и М_сопр – приведенные моменты сил движущих и сил сопротивлений.

Подставив (4.5-4.7) в (4.4), получим:

(4.8)

Из (4.8) выразим угловую скорость кривошипа при положении :

(4.9)

Уравнение (4.9) называют уравнением движения машины в форме кинетической энергии.

4.4. Уравнение движения машины в дифференциальной форме

Уравнение (4.8) можно записать в виде:

, (4.10)

где М_пр=М_пр^дв+М_пр^сопр – суммарный приведенный момент сил движущих и сил сопротивлений.

Продифференцируем (4.10) по переменной φ:

;

. (4.11)

Преобразуем , разделив числитель и знаменатель на , и получим:

,

где  – угловое ускорение.

Тогда уравнение (4.11) можно записать в виде: .

Это есть дифференциальное уравнение движения машины для ведущего вращающегося ведущего звена.

Дифференциальное уравнение движения машины для поступательно движущегося ведущего звена выводится аналогично предыдущим выкладкам и имеет вид:

.

Решать дифференциальные уравнения движения можно графическим или численным методом (методом последовательных приближений).

4.5. Режимы движения машины

В общем виде движения машины можно разделить на три основных режима (периода): разгон, установившееся движение и останов (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Схема режимов движения машины

В режиме разгона угловая скорость в начале режима , в конце – , что следует из уравнения (4.9). При этом всегда , иначе разгон невозможен.

В режиме установившегося движения , изменение кинетической энергии (в среднем за один оборот ведущего вала) . В пределах одного оборота происходят периодические колебания угловой скорости вала машины.

В режиме останова (когда двигатель отключен) . При этом выполняется работа, затрачиваемая на преодоление сил трения: .

4.6. Механический кпд механизма

В период установившегося движения машины соблюдается условие равенства работ сил движущих и сил сопротивлений:

А_дв=А_сопр.

Работа сил сопротивления складывается из суммы работ сил полезного сопротивления А_{пол.сопр} и сил вредного сопротивления А_{вр.сопр}. Тогда:

А_дв = А_{пол.сопр} + А_{вр.сопр}.

Разделим левую и правую части равенства на величину работы сил движущих:

,

и получим:

1 = η + φ,

где – механический (цикловой) коэффициент полезного действия (кпд);

– коэффициент механических потерь.