4.2. Кинетическая энергия, приведенная масса, приведенный момент инерции механизма

Анализ движения машинного агрегата, находящегося под действием приложенных к нему внешних сил, удобно проводить с использованием метода приведения масс и сил к какому-либо звену механизма. Он сводится к анализу динамики тела (звена приведения), к которому приведены все внешние силы и моменты. Чаще всего звеном приведения выступает ведущее звено механизма.

Задача динамического анализа – определение истинного закона движения ведущего звена механизма, находящегося под действием заданных внешних сил и моментов, действующих в машинном агрегате.

Кинетическая энергия механизма

Для i-го звена, совершающего сложное движение (например, для шатуна кривошипно-ползунного механизма), кинетическую энергию можно выразить формулой:

,

где первое слагаемое правой части – это кинетическая энергия поступательного движения центра масс звена; второе слагаемое – кинетическая энергия вращательного движения; m_i – масса звена;

V_si – скорость центра масс;

J_si – момент инерции звена относительно центра масс;

ω_i – угловая скорость звена.

Для всего механизма кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма:

, (4.1)

где n – количество подвижных звеньев.

Приведенная масса механизма

Условно заменим механизм его динамической моделью. Например, кривошипно-ползунный механизм (рис. 4.2) заменим динамической моделью, состоящей из стойки и кривошипа.

Рис. 4.2. Замена кривошипно-ползунного механизма

динамической моделью

Здесь ОА – звено приведения механизма, в котором как бы сосредоточена инертность всех звеньев механизма, А – точка приведения.

Уравнение (4.1) умножим и разделим на квадрат скорости точки приведения V_A:

.

Выражение в квадратных скобках имеет размерность массы (кг) и называется приведенной массой m_пр механизма в точке А.

Тогда:

,

где:

. (4.2)

Приведенной массой механизма называется такая условная масса, которая как бы сосредоточена в точке приведения механизма, кинетическая энергия которой равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма.

Приведенный момент инерции

Так как , где – длина звена приведения, – его угловая скорость, то кинетическую энергию механизма можно выразить уравнением:

,

где приведенный момент инерции механизма.

. (4.3)

Приведенным моментом инерции механизма называется такой условный момент инерции, которым как бы обладает звено приведения относительно оси вращения, кинетическая энергия которого (при таком моменте инерции) равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма.

Величины m_пр и J_пр не являются постоянными для данного механизма, а меняют свое численное значение в зависимости от положений звеньев, так как звенья меняют свои скорости.

Пример

Определить приведенную массу и приведенный момент инерции для заданного положения кривошипно-ползунного механизма (рис. 4.3), если известны положения центров масс звеньев (S₁ и S₂), линейные и угловые скорости звеньев и центров масс звеньев: , и – скорости центров масс кривошипа, шатуна и ползуна, и – угловые скорости кривошипа и шатуна.

Рис. 4.3. Кривошипно-ползунный механизм

Пусть кривошип 1 – звено приведения, А – точка приведения.

Приведенная масса механизма согласно (4.2) вычисляется по формуле:

а приведенный момент инерции согласно (4.3) – по формуле:

.