4.5.Индукция. Рекурсия

Понятие рекурсии - сложное, но необходимое понятие для программиста.

Здесь мне никуда не уйти от классического примера о факториале. Факториалом целого положительного числа N называется произведение всех целых чисел от 1 до N. Например, факториал пяти равен 1*2*3*4*5, то есть 120. Факториал единицы считается равным 1.

Все понятно. Однако, существует еще один, совершенно ужасный способ определения, что такое факториал. Этот способ определения называется индуктивным. Вот он:

"Факториал единицы равен 1. Факториал любого целого положительного числа N, большего единицы, равен числу N, умноженному на факториал числа N-1."

Если вам уже все ясно, значит вы - профессор математики. Для обычных людей поясню. Возьмем какое-нибудь конкретное N, например, 100. Тогда ужасное определение будет звучать проще: Факториал числа 100 равен числу 100, умноженному на факториал числа 99.

Ну и что? И как же отсюда узнать, чему равен какой-нибудь конкретный факториал, скажем, факториал трех? Будем рассуждать также совершенно чудовищным образом:

Смотрю в определение: Факториал трех равен 3 умножить на факториал двух. Не знаю, чему равен факториал двух. Поэтому спускаюсь на ступеньку ниже.

Смотрю в определение: Факториал двух равен 2 умножить на факториал единицы. Не знаю, сколько это. Спускаюсь еще на ступеньку.

Смотрю в определение: Факториал единицы равен 1. Вот, наконец-то - впервые узнал конкретное число. Значит можно подниматься обратно.

Поднимаюсь на одну ступеньку. Факториал двух равен 2 умножить на 1, то есть 2. Хорошо.

Поднимаюсь еще на ступеньку. Факториал трех равен 3 умножить на 2, то есть 6. Задача решена!

Рассуждая таким образом, можно вычислить факториал любого числа. Этот способ рассуждения называется рекурсивным.

:

Какое отношение все это имеет к компьютерам? Дело в том, что рекурсивный способ рассуждений реализован во многих языках программирования, в том числе - и в Visual Basic. Значит, этим языкам должен быть понятен и индуктивный способ написания программ.

Обозначим кратко факториал числа N, как Factorial(N), и снова повторим наш индуктивный способ объяснения:

"Если N=1, то Factorial(N) = 1.

Если N>1, то Factorial(N) вычисляется умножением N на Factorial(N-1)."

В соответствии с этим объяснением напишем на Visual Basic функцию Factorial для вычисления факториала:

Private Function Factorial(ByVal N As Integer) As Long

If N = 1 Then Factorial = 1

If N > 1 Then Factorial = N * Factorial(N - 1)

End Function

Private Sub Command1_Click()

Debug.Print Factorial(3)

End Sub

Что самое удивительное - функция работает! Несмотря на то, что в программе нигде не употребляется оператор цикла. Вся соль программы в том, что функция Factorial вместо этого включает в себя вызов самой себя - Factorial(N-1).

:

Что же происходит в компьютере во время выполнения программы? Механизм происходящего в точности соответствует нашему путешествию по ступенькам:

Все начинается с того, что мы щелкаем по кнопке и Visual Basic пробует выполнить строку Debug.Print Factorial(3). Для этого он вызывает функцию Factorial. Выполнение подпрограммы начинается с того, что в памяти отводится место для всех параметров и локальных переменных, а значит и для нашего параметра N. Затем число 3 подставляется на место параметра N, то есть в память в ячейку N посылается 3. Затем выполняется тело функции. Так как 3>1, то Visual Basic пытается выполнить умножение 3* Factorial(3-1) и сталкивается с необходимостью знать значение функции Factorial(2), для чего вызывает ее, то есть отправляется ее выполнять, недовыполнив Factorial(3), но предварительно запомнив, куда возвращаться.

Спускаюсь на ступеньку ниже. В соседнем месте памяти отводится место для N. Это уже другое N, путать их нельзя! В эту ячейку N посылается 2. Затем выполняется тело функции. Пусть вас не смущает, что Visual Basic второй раз выполняет тело функции, не закончив его выполнять в первый раз. Так как 2>1, то Visual Basic пытается выполнить умножение 2* Factorial(2-1) и сталкивается с необходимостью знать значение функции Factorial(1), для чего вызывает ее.

Спускаюсь еще на ступеньку. В соседнем месте памяти отводится место еще для одного N. В эту ячейку N посылается 1. Затем выполняется тело функции. Так как 1=1, то Visual Basic вычисляет Factorial=1. Вот - впервые конкретное число. Затем Visual Basic пытается выполнить следующую строку if N>1 then Factorial = N* Factorial(N-1). Поскольку нельзя сказать, что 1>1, то строка не выполняется и выполнение тела функции закончено. Значит можно подниматься.

Поднимаюсь на одну ступеньку. Visual Basic возвращается внутрь тела функции (той, где N=2) и успешно выполняет умножение - Factorial =2*1=2.

Поднимаюсь еще на ступеньку. Visual Basic возвращается внутрь тела функции (той, где N=3) и успешно выполняет умножение - Factorial =3*2=6. Задача решена.

Итак, рекурсией в программировании называется вызов подпрограммы из тела самой подпрограммы.

Чем хорош рекурсивный стиль программирования? В нашей программе о факториале мы как бы и не программировали вовсе, а просто обяснили компьютеру, что такое факториал. Как бы перешли на новый уровень общения с компьютером: вместо программирования - постановка задачи.

Чем плох рекурсивный стиль программирования? Если мы для решения той же задачи напишем программу не с рекурсией, а с обычным циклом, то такая программа будет выполняться быстрее и потребует меньше памяти.

Задание 131: Напишите рекурсивную функцию fib для вычисления чисел Фибоначчи.