Приклад виконання завдання 1 до теми 3.1.2.

Оцінка вірогідності експериментальних даних до­статньо складна і багаторівнева задача, розв’язання якої потребує застосування спеціальних методів, які ґрунтуються на оцінці статистичної значущості одержаних резуль­татів. При цьому стараються степінь цієї значущості визна­чити, виходячи з певних припущень про характер випадко­вих величин, тобто результатів експериментальних дослід­жень, на яких ґрунтується модель. Одним із основних і таких, що найбільш часто зустрічаються на практиці, є припущен­ня про нормальний розподіл (закон Гауса) випадкових ве­личин як результатів експериментальних досліджень. Але основні висновки за цим законом вірні тоді, коли кількість експериментальних даних є достатньо велика. Коли ж кіль­кість даних є малою (на практиці менше 20-25), то оцінку вірогідності здійснюють за розподілом Стьюдента, який встановлює зв’язок між кількістю експеримен­тальних даних та імовірністю того, що значення кожного з них відповідає одержаному. Така оцінка здійснюється за спеціальним критерієм, названим критерієм Стьюдента

,

де Ρ – імовірність вірогідності оцінки результатів; f – число ступенів свободи, що чисельно дорівнює N – 1 (N – кількість дослідів). Крім значення імовірності, з якою здійснюється оцінка результатів, використовують також поняття рівня значущості q =1– Р.

Розраховане значення параметра t порівнюється із табличним, на основі чого робиться висновок про статистичну значущість отриманих значень випадкової величини.

Змістовий модуль 3.2 Оптимізаційні задачі на основі математичних моделей

3.2.1 Складання цільової функції, задачі безумовної оптимізації

Перелік завдань з практичних занять до теми 3.2.1.

1 Обгрунтувати основну мету розв’язування оптимізаційних задач в моделюванні.

2 Пояснити суть терміну “критерій оптимальності”.

3 Пояснити суть терміну “цільова функція”.

4 Пояснити суть терміну “ресурси оптимізації”.

5 Пояснити відмінності в задачах умовної та безумовної оптимізації.

6 Пояснити суть задач лінійного програмування.

7 Визначити критерій оптимальності та скласти цільову функцію задачі оптимального розташування паровозів в депо.

8 Визначити критерій оптимальності та скласти цільову функцію задачі оптимального розташування газорозподільної станції.

9 Визначити критерій оптимальності та скласти цільову функцію задачі оптимального вибору параметрів коливної системи.

10 Визначити критерій оптимальності та скласти цільову функцію задачі оптимального вибору параметрів системи ультразвукового контролю цілості трубопроводів.

11 Визначити критерій оптимальності та скласти цільову функцію задачі оптимального розташування елементів акустичної системи.

Приклад виконання завдання 1 до теми 3.2.1.

Дослідження будь-якого процесу, в тому числі фізично­го, завершується пошуком оптимальних умов його реаліза­ції. Зокрема, в пристроях вимірювання та контролю з метою одержання високої точності та максимальної вірогідності результатів вимірювання. Здійснення цього пошуку, який називають оптимізацією, – це сукупність математичних методів, за допомогою яких виявляють такі параметри процесу, при яких вихідні змінні приймають найкращі значення. Тому власне математичні моделі різноманітних об’єктів якраз і створюються для того, щоб визначити такі параметри процесів і систем, щоб забезпечити оптимальний перебіг процесів, які мають місце в цих об’єктах. Отже, вирішення задачі оптимізації є завершальним етапом процедури моделювання.

3.2.2 Одномірні і багатомірні задачі умовної оптимізації. Задачі лінійного програмування

Перелік завдань з практичних занять до теми 3.2.2.

1 Сформулювати необхідну умову існування безумовного екстремуму одномірної цільової функції.

2 Сформулювати достатню умову існування безумовного екстремуму одномірної цільової функції.

3 Сформулювати необхідну умову існування безумовного екстремуму багатомірної цільової функції.

4 Сформулювати достатню умову існування безумовного екстремуму багатомірної цільової функції.

5 Пояснити метод координатного спуску для розв’язування задач багатомірної оптимізації.

6 Пояснити метод “золотого перерізу” для розв’язування задач одномірної оптимізації.

7 Пояснити метод чисел Фібоначчі для розв’язування задач одномірної оптимізації.

8 Визначити значення точки екстремуму та який його вид (максимум чи мінімум) для такої безумовної одномірної цільової функції: .

9 Визначити значення точки екстремуму та який його вид (максимум чи мінімум) для такої безумовної одномірної цільової функції: .

10 Визначити значення точки екстремуму та який його вид (максимум чи мінімум) для такої безумовної багатомірної цільової функції: .

11 Визначити значення точки максимуму для такої багатомірної цільової функції .

Приклад виконання завдання 1 до теми 3.2.2.

Задачі оптимізації залежно від відсутності чи наяв­ності обмежень поділяють на: задачі про безумовний екст­ремум цільової функції та задачі на умовний екстремум цієї функції, або задачі математичного програмування. Одномірними задачами оптимізації називають такі, в яких цільова функція є функцією однієї змінної, а багатомірними – задачі, в яких ця функція залежить від багатьох змінних.

Розглянемо задачу безумовної максимізації цільової функції однієї змінної .

Необхідні умови існування максимуму неперервної функції R(x) при відсутності обмежень на змінну можна визначити шляхом аналізу похідної . Функція R(х) у деякій точці може мати максимум, якщо у цій точці. Це є необхідна умова існування розв'язку задачі.