Приклад виконання завдання 1 до теми 1.1.1.

Залежно від способу одержання математичного опису фізичних процесів математичні моделі умовно поділяють на аналітичні та експериментальні. Звичайно, зазначений поділ методів моделювання в значній мірі умовний, в інженерній та науковій практиці в процесі складання та дослідження математичних моделей фізичних процесів застосовують комплексний підхід з використанням різноманітних методів.

Моделюванням називають процес побудови і вивчення моделей, а також отримання на основі такого вивчення нових відомостей про об’єкт моделювання, які можуть бути використані для розробляння більш оптимальних за деякими критеріями систем, у тому числі засобів вимірювальної техніки. У практиці моделювання склалися два принципово різних підходи: перший базується на вивченні фізичної суті процесу (“аналітика”), другий – об’єкт розглядається як “чорний ящик”, тобто апріорі вважається, що про явища, які протікають в об’єкті, нічого не відомо.

Аналітичні методи основані на вивченні природи фізичних процесів і ґрунтуються на знаннях про сам процес, експериментальні ж встановлюють взаємозв’язок між параметрами, що характеризують цей процес, не розкриваючи його фізичної природи, абстрагуючись від неї. Експериментальні методи поділяють на активні та пасивні. Активні методи вимагають створення в процесі експерименту спеціальних (активних) дій на об’єкт моделювання і визначення реакції на ці дії. В пасивних методах використовують інформацію, одержану від об’єкта при його нормальній експлуатації, в умовах достатньо тривалого спостереження і реєстрації всіх параметрів, що характеризують процес.

Змістовий модуль 1.2 Задачі аналітичного моделювання

1.2.1 Складання та дослідження математичних моделей аналітичним методом на основі рівнянь балансів

Перелік завдань з практичних занять до теми 1.2.1.

1 Пояснити фізичну суть і математичне моделювання процесу утворення завихрень газового потоку при обтіканні ним перешкоди.

2 Пояснити методику математичного моделювання процесу коливань математичного маятника.

3 Пояснити методику математичного моделювання процесу коливань фізичного маятника.

4 Описати послідовність моделювання процесу плавання тіла на поверхні рідини.

5 Пояснити методику математичного моделювання процесу польоту повітряної кулі.

6 Пояснити методику математичного моделювання процесу занурення і спливання підводної лодки.

7 Пояснити методику математичного моделювання процесу руху рідини по трубопроводі.

8 Пояснити методику математичного моделювання процесу руху поїзда по рейках.

9 Пояснити методику математичного моделювання процесу роботи електричного двигуна.

10 Дати пояснення умов та методики складання математичних моделей на основі рівнянь балансів.

11 Дати пояснення умов та методики складання математичних моделей на основі розгляду об’єкта моделювання як матеріальної точки.

12 Дати пояснення умов та методики складання математичних моделей на основі складання рівнянь балансів для елементарного об’єму об’єкта моделювання.

13 Дати пояснення умов та методики складання математичних моделей на основі розгляду об’єкта моделювання як матеріальної точки.

14 Пояснити використання розв’язку задачі Коші при складанні математичних моделей.

15 Дати визначення і пояснити методику використання першої теореми подібності при аналітичному моделюванні.

16 Дати визначення і пояснити методику використання другої теореми подібності при аналітичному моделюванні.

17 Дати визначення і пояснити методику використання третьої теореми подібності при аналітичному моделюванні.

18 Дати визначення і пояснити методику використання критеріїв подібності при аналітичному моделюванні.

19 Пояснити методику математичного моделювання процесу руху крові по судинах.

20 Пояснити методику математичного моделювання процесів розплаву та кристалізації металів.

21 Пояснити методику математичного моделювання процесу дугового зварювання.

Приклад виконання завдання 1 до теми 1.2.1.

Турбулентний рух речовини, який є найбільш поширеним у природі і техніці, представляє у той же час одне із складних явищ. Для опису основних закономірностей турбулентного руху і встановлення розрахункових залежностей у гідродинаміці широке розповсюдження отримала напівемпірична теорія Прандтля-Кармана, створена ними на основі схематизованої моделі турбулентного потоку.

При числі Рейнольдса Re<Reкр у потоці має місце впорядкований паралельно струменевий рух частин. Із зростанням Re і наближенням його значення до критичного (тобто з збільшенням сил інерції або зменшенням сил в’язкості) знижується стійкість ламінарного руху, струмені речовини стають дещо завихреними, коливними, у потоці крім основних поздовжніх складових швидкостей частин виникають поперечні складові, хоча і значно менших розмірів. При подальшому збільшенні числа Рейнольдса (Re=Reкр) ламінарний рух втрачає стійкість, значно зростають поперечні складові швидкостей частин. Частини починають переходити із одного струменя в інший, що приводить до інтенсивного перемішування речовини, утворення завихрень у потоці, тобто рух стає турбулентним.

Так як при ламінарному режимі руху дотичні напруги, які залежать тільки від в’язкості речовини, на осі потоку рівні нулю, то із внесенням у потік збурень саме тут відбувається у першу чергу втрата стійкості ламінарного руху. Однак при надто шорстких стінках утворення вихрів може відбуватися і біля стінок.

У результаті наявності вихорів і інтенсивного перемішування частин речовини у будь-якій точці турбулентного потоку в даний момент часу має місце своя за значенням і напрямком миттєва місцева швидкість, а траєкторії частин, що проходять через цю точку, мають різний вигляд. Таке коливання у часі миттєвої місцевої швидкості називається пульсацією швидкості.

Режим обтікання речовиною тіла, а відповідно і фактори, що впливають на силу опору R, можуть бути різними. Основним визначальним критерієм є число Рейнольдса:

,

де v – відносна швидкість обтікання, l – характерний лінійний розмір, – кінематичний коефіцієнт в’язкості речовини.

Експерименти показали, що для більшості частин при Re < 1 режим обтікання ламінарний.

Виникнення турбулентного режиму обтікання спостерігається у тілах різної форми і з різною ступінню шорсткості при різних числах Рейнольдса (для більшості часин, що не мають визначеної форми, при Re > 800).

При розвиненому турбулентному режимі сила опору при обтіканні визначається формулою:

,

де С – коефіцієнт опору, який залежить від форми і шорсткості поверхні тіла; S – міделеве січення – площа проекції тіла на площину, перпендикулярну до напрямку руху тіла (або швидкості).

Коефіцієнт опору С залежить від структури потоку, обтікаючого тіло, тобто від числа Рейнольдса, форми тіла і його положення у потоці (цей коефіцієнт часто називають аеродинамічною характеристикою тіла). Його визначають у кожному окремому випадку дослідним шляхом. Для різних випадків обтікання (циліндр, пластина, куля) криві зміни коефіцієнта опору залежно від числа Рейнольдса мають різний вигляд. Під площею S, яка характеризує розміри тіл, розуміють найбільшу площу січення тіла площиною, перпендикулярною до напрямку течії речовини.

На силу опору дуже великий вплив має форма тіла, особливо задньої його частини. Щоб зменшити цю силу, необхідно зменшити вихреутворення потоку біля тіла, що може бути досягнуто наданням йому відповідної форми. Тіла, які мають найменший опір, називають добре обтікаючими. Тому найчастіше вибирають тіло обтікання циліндричної форми. Площа S такого тіла визначається за формулою:

,

де h i D – відповідно висота і діаметр циліндра.

Число Рейнольдса суттєво впливає на характер обтікання – із його зростанням збільшуються вихорові зони. Характерною особливістю обтікання плавноокреслених тіл (куля, циліндр) є різке падіння коефіцієнтів опору при певних значеннях чисел Рейнольдса. При цьому проходить відривання граничного шару і утворення вихрової доріжки (при Re = 250).

1.2.2 Математичне моделювання хвильових процесів