Как кодируется в пк числовая информация?
Для записи любой информации в компьютере используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами.
Система счисления – это способ задания чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.
Пример: Римская система счисления XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Пример: 757,7
Первая 7 – сотни, третья 7 – единицы и последняя 7 – десятые доли единицы.
Сама запись числа 757,7 означает сокращенную запись суммы 700+50+7+0,7=7*102+5*101+7*100+7*10-1=757,7.
Любая система счисления характеризуется алфавитом и основанием.
Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
Вид системы счисления |
Алфавит |
Основание |
Десятичная |
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} |
10 |
Двоичная |
{0,1} |
2 |
Шестнадцатеричная |
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} |
16 |
За основание системы можно принять любое натуральное число – 2, 3, 4, 5 и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления: двоичная, троичная, четверичная и т.д.
Запись чисел в каждой системе счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения:
Аn-1qn-1+an-2qn-2+…+a1q1+a0q0+a-1q-1+…+a-mq-m
где аi – цифры системы счисления, n и m – число целых и дробных разрядов соответственно.
Например,
разряд |
2 |
1 |
0 |
|
|
7 |
8 |
4(10) |
=7*102+8*101+4*100=784 (в десятичной системе счисления) |
Перевод чисел в позиционных системах счисления
Как перевести число из любой системы счисления в десятичную систему счисления?
Чтобы перевести число из любой системы счисления в десятичную систему счисления надо представить число в расширенной записи и сосчитать
Перевод из 2 —>10
3 |
2 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1(2) |
=1*23+1*22+0*21+1*20=8+4+0+1=13(10) |
Перевод из 8 —>10
2 |
1 |
0 |
|
1 |
5 |
7(8) |
=1*82+5*81+7*80=64+40+7=111(10) |
Перевод из 16 —>10
2 |
1 |
0 |
|
1 |
F |
3(16) |
=1*162+15*161+3*160=499(10) |
Как перевести целое число из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления с основанием q?
При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока результат не станет меньше основания. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.
Перевод числа 75 из 10 —>2
7
5
2
6 37 2
15 2 18 2
14 17 18 9 2
1 16 0 8 4 2
1 1 4 2 2
0 2 1
0
75(10)=1001011(2)
Проверить, что 75(10)=113(8) и 75(10)=4В(16)
Как перевести правильную десятичную дробь в любую другую позиционную систему счисления с основанием q?
При переводе дробь
умножают на основание q (та система
счисления в которую переводят), а затем
дробные части всех последующих
произведений последовательно умножают
на q, отделяя после каждого умножения
целую часть произведения (до тех пор
пока дробная часть
).
Число в новой системе счисления
записывается как последовательность
полученных целых частей произведения.
0 |
35 2 |
|
|
0 |
70 2 |
|
|
1 |
40 2 |
|
|
0 |
80 2 |
|
|
1 |
60 2 |
|
|
1 |
20 |
|
0,35(10) = 0,01011(2) |
,Как перевести число из 8-ой и 16-0й систем счисления в 2-ную систему счисления?
Переводим из 8-ой в 10-ную, а затем из 10-ой во 2-ую. Или мы знаем, что 8=23, тогда проще представить каждое число 8 системы счисления в виде соответствующих троек в двоичной системе счисления.
5(8)=101(2), т.к. 8=23
5(16)=0101(2), т.к. 16=24
При переводе из шестнадцатеричной системы счисления пользуемся условием, что 16=24, тогда каждое число шестнадцатеричной системы счисления представим в виде соответствующих четверок в двоичной системе счисления.
Основные операции, производимые с числами, в двоичной системе счисления.
Сложение |
Вычитание |
Умножение |
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 |
0-0=0 0-1=-1 1-0=1 1-1=0 |
0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1
|
Пример: |
Пример: |
Пример: |
1102 +112 1
|
1102 - 112 112 Проверка сложением обязательна! |
1102 * 112 1102 + 110 100102
|
0012
Деление организуется по принципу деления в 10 системе счисления. Проверка выполняется умножением.
Итак, в ПК используется двоичная система счисления. Она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет ток, намагничен – не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, - как в десятичной;
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
возможно выполнение логических преобразований с помощью логических операций и, или, не (элементы Булевой алгебры);
двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Широко используются также еще более крупные единицы измерения (производные байта):
1 Килобайт (Кбайт) = 1024 байта = 210байта;
1 Мегабайт (Мбайт) = 1024 Кбайта = 220байта;
1 Гигабайт (Гбайт) = 1024 Мбайта =230 байта и т.д.