2. Решение задач на минимум с искусственным базисом

В задачах, ограничения которых заданы неравенствами типа >=, дополнительные неизвестные вводятся с отрицательным единичным коэффициентом, поэтому они не могут образовывать естественный базис. Подобные задачи решаются при помощи искусственного базиса, который в литературе встречается также под названием М-метода. Методом искусственного базиса решаются также задачи с жесткими ограничениями, заданными равенством.

Задача 2

Определить оптимальную структуру посевных площадей. Имеется 1000 га пашни, которая должна использоваться полностью. Трудовые ресурсы составляют 30000 чел.-ч.

Возделывание с.-х. культур характеризуется показателями:

Показатели	Озимая рожь	Яровая пшеница	Картофель
Затраты труда на 1 га, чел.-ч. Урожайность, ц/га Затраты материально-денежных средств, руб/га	16 32 214	20 40 226	80 250 782

По плану требуется произвести не менее 32000 ц зерна и 40000 ц картофеля. Критерий оптимальности – минимум материально денежных затрат на производство.

Решение

Примем в задаче следующие переменные:

Х1 – площадь озимой ржи, га;

Х2 – площадь яровой пшеницы, га;

Х3 – площадь картофеля, га.

Ограничения:

Х1+Х2+Х3=1000 (пашня)

16Х1+20Х2+80Х3<=30000 (трудовые ресурсы)

32Х1+40Х2>=32000 (производство зерна)

250Х3>=40000 (производство картофеля)

Целевая функция – минимум материально-денежных затрат:

F min = 214Х1+226Х2+782Х3

Чтобы привести задачу к каноническому виду, введем дополнительные неизвестные Y1, Y2 и Y3.

Х1+Х2+Х3=1000

16Х1+20Х2+80Х3+Y1=30000

32Х1+40Х2-Y2=32000

250Х3-Y3=40000

Fmin=214Х1+226Х2+782Х3+0Y1+0Y2+0Y3

Как видно из системы уравнений, дополнительные неизвестные Y2 и Y3 имеют отрицательный знак, а, следовательно, не могут быть базисными неизвестными (по условию не отрицательности). В первом уравнении нет такой неизвестной, которая принадлежала бы только этому уравнению. Поэтому для получения исходного базисного решения в эти уравнения введем искусственные неизвестные Z1, Z2, Z3 с положительным единичным коэффициентом. Таким образом, задача принимает вид:

Х1+Х2+Х3+Z1=1000

16Х1+20Х2+80Х3+Y1=30000

32Х1+40Х2-Y2+Z2=32000

250Х3-Y3+Z3=40000

Искусственные неизвестные самостоятельного экономического значения не имеют. В целевую функцию они не входят.

Z1=1000- (Х1+Х2+Х3)

Y1=30000 - (16Х1+20Х2+80Х3)

Z2=32000 – (32Х1+40Х2-Y2)

Z3=40000 – (250Х3-Y3)

Fmin=0-(-214Х1-226Х2-782Х3)

Первый опорный план

Базис	СЧ	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3	СЧ/РС
Z1	1000	1	1	1	0	0	0	1000
Y1	30000	16	20	80	1	0	0	375
Z2	32000	32	40	0	0	-1	0
Z3	40000	0	0	250	0	0	-1	160
F	0	-214	-226	-782	0	0	0
Сумма Z	0	33	41	251	0	-1	-1

В таблицу добавляется строка «Сумма Z». Ее значения определяются суммой коэффициентов по строкам с искусственными неизвестными.

Оптимальное решение будет найдено тогда, когда Z выйдут из базиса, при этом в строке целевой функции должны быть только отрицательные значения или нули.

Если Z из базиса вышли, но при этом в строке целевой функции есть положительные коэффициенты, то решение продолжается и разрешающий столбец выбирается по наибольшему положительному значению в строке целевой функции.

Если Z не вышли из базиса, но в строке «Сумма Z» нет положительных значений, то задача не имеет оптимального решения.

Наличие Z в базисе первого опорного плана нашей задачи говорит о том, что решение не оптимально, его надо улучшать. Разрешающий столбец определяется по максимальному положительному коэффициенту в строке «Сумма Z». Разрешающая строка, значения во второй симплексной таблице находятся по тому же алгоритму, что и в задачах с естественным базисом.

Переходим ко второй симплексной таблице.

Второй опорный план

Базис	СЧ	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3	СЧ/РС
Z1	840	1	1	0	0	0	0,004	840
Y1	17200	16	20	0	1	0	0,32	860
Z2	32000	32	40	0	0	-1	0	800
Х3	160	0	0	1	0	0	-0,004
F	125120	-214	-226	0	0	0	-3,128
Сумма Z		33	41	0	0	-1	0,004

Наличие Z в базисе второй таблицы говорит о том, что решение не оптимально, его надо улучшать.

Третий опорный план

Базис	СЧ	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3	СЧ/РС
Z1	40	0,2	0	0	0	0,025	0,004	200
Y1	1200	0	0	0	1	0,5	0,32
Х2	800	0,8	1	0	0	-0,025	0	1000
Х3	160	0	0	1	0	0	-0,004
F	305920	-33,2	0	0	0	-5,65	-3,128
Сумма Z		0,2	0	0	0	0,025	0,004

Наличие Z в базисе третьей таблицы говорит о том, что решение не оптимально, его надо улучшать.