1. Алгоритм решения задач линейного программирования симплексным методом

1. Решение задач на максимум с естественным базисом Задача 1

Определить оптимальное сочетание трех зерновых культур: пшеницы, ячменя и овса. Производство культур характеризуется показателями таблицы.

Показатели	Озимая пшеница	Яровой ячмень	Овес
Урожайность, ц/га Затраты труда, чел-ч./га Затраты удобрений, руб/га	40 20 80	35 15 50	30 13 30

Имеются следующие ресурсы:

• пашня – 1600 га;

• труд – 27000 чел.-ч.;

• удобрения – 99000 руб.

В структуре посевов площадь под озимой пшеницей должна составлять не более 50%. Критерий оптимальности – максимум производства зерна.

Решение

1 этап – Математическая запись задачи

За неизвестные примем площадь пашни под культурами, га:

Х1 – пшеница

Х2 – ячмень

Х3 – овес

Технико-экономическими коэффициентами в данной задаче являются затраты ресурсов на 1 га. А ограничивающими условиями – наличие производственных ресурсов в хозяйстве, которые могут использоваться частично или полностью, но не больше. Отсюда условия задачи можно записать в виде неравенств:

Х1+Х2+Х3<=1600 (пашня)

20Х1+15Х2+13Х3<=27000 (труд)

80Х1+50Х2+30Х3<=99000 (удобрения)

Х1<=800 (по площади пшеницы)

В результате получена система четырех линейных неравенств с тремя неизвестными. Требуется найти такие неотрицательные значение этих неизвестных (Х1>=0, X2>=0, X3>=0), которые бы удовлетворяли данной системе неравенств и обеспечивали получение максимального валового сбора зерна:

Fmax=40X1+35X2+30X3

Таким образом, все условия задачи и ее цель выражены в математической форме, то есть составлена экономико-математическая модель задачи линейного программирования.

Чтобы найти экономический оптимум, надо решить систему неравенств, для чего необходимо привести ее к каноническому виду. В систему неравенств введем дополнительные неизвестные Y1, Y2, Y3, Y4. Дополнительные переменные прибавляются к левой части неравенства типа <= и вычитаются из левой части неравенства типа >=. В первом случае они будут показывать возможное недоиспользование ресурсов, а во втором – избыток производства продукции.

Получим эквивалентную систему уравнений:

Х1+Х2+Х3+Y1=1600 (пашня)

20Х1+15Х2+13Х3+Y2=27000 (труд)

80Х1+50Х2+30Х3+Y3=99000 (удобрения)

Х1+Y4=800 (по площади пшеницы)

Линейная функция запишется следующим образом:

Fmax=40X1+35X2+30X3+0Y1+0Y2+0Y3+0Y4

Дополнительные неизвестные входят в целевую функцию с нулевой оценкой, так как недоиспользование ресурсов не приносит дохода.

В системе уравнений каждое из неизвестных Y1-Y4 входит лишь в одно уравнение. Решим систему уравнений относительно дополнительных неизвестных:

Y1 = 1600 – (Х1+Х2+Х3)

Y2 = 27000  (20Х1+15Х2+13Х3)

Y3 = 99000 – (80Х1+50Х2+30Х3)

Y4= 800 – (Х1)

Fmax=0 - (-40X1-35X2-30X3)

Неизвестные Y1-Y4, относительно которых будет решена система, называют базисными.

2 этап – нахождение первого базисного (опорного) плана

Составленный таким образом план - это наиболее оптимальное решение системы уравнений относительно дополнительных неизвестных, позволяющее получить первый опорный план или базисное решение, от которого удобно начинать поиски оптимального плана. Решение проводится в симплексных таблицах, на основе тождественных преобразований путем последовательного исключения неизвестных из уравнения.

Оформим в EXCEL таблицу и занесем в нее следующие данные: