Многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1) Вывести интерполяционную формулу интегрирования с постоянным шагом в ординатной форме для уравнения и определить локальную погрешность выведенной формулы. Исходными данными для вывода формул являются - количество точек шаблона и S-порядок аппроксимации.

N =4 формула Милна ; k=5; s=6;

2) Вывести экстраполяционную формулу интегрирования с постоянным шагом в ординатной форме для уравнения и определить локальную погрешность выведенной формулы. Исходными данными для вывода формул являются - количество точек шаблона и S-порядок аппроксимации.

N =4 формула Нистрема ; k=2; s=2;

3) По полученным в 1) и 2) формулам (все формулы приведены в /1/) численно проинтегрировать дифференциальное уравнение из задания №15 с теми же начальными данными. Численно вычислить порядок сходимости.

Решение:

Рассмотрим многошаговые методы вида:

, _k 0

применяемые на сетке: для решения дифференциального уравнения:

Для нахождения необходимых коэффициентов рассмотрим следующую систему уравнений:

В первом задании получим следующую систему:

Известно, что для формулы Милна , поэтому:

Откуда получаем, что

Подставляя найденные коэффициенты, получим формулу Милна в ординатной форме:

.

Определим локальную погрешность по следующей формуле:

Для полученной формулы:

Во втором задании получим следующую систему:

Известно, что для формулы Нистрема , поэтому:

Откуда получаем, что

Подставляя найденные коэффициенты, получим формулу Нистрема в ординатной форме:

.

Определим локальную погрешность для полученной формулы:

По полученным формулам проинтегрируем дифференциальное уравнение из прошлого задания:

,

, где - параметр,

Шаг выберем h=0.00001, т.к. мы установили, что для меньшего шага разность между итерациями меньше погрешности уже на предикторе.

Формула Милна k=5; s=6:

xi	Точное решение
0.00	4	4	4	0	0
1.00e-5	4.0812543	4.0812543	4.0812543	1.100009e-10	0
2.00e-5	4.1641591	4.1641591	4.1641591	2.2447111e-10	0
…	…	…	…	…	…
5.68e-3	3.7283243e5	3.7283243e5	3.7283243e5	5.5472525e-3	4.781154e-6
5.69e-3	3.8040599e5	3.8040599e5	3.8040599e5	5.6699861e-3	4.8782735e-6
5.70e-3	3.8813339e5	3.8813339e5	3.8813339e5	5.7954164e-3	4.9773662e-6

Уменьшим шаг и вычислим порядок сходимости:

P= 3.9919384

Формула Нистрема k=2; s=2:

xi	Точное решение
0.00	4	4	4	0	0
1.00e-5	4.0812543	4.0812543	4.0812543	1.100009e-10	0
2.00e-5	4.1641591	4.1641591	4.164148	1.1064138e-5	1.1063913e-5
…	…	…	…	…	…
5.68e-3	3.7283243e5	3.7283243e5	3.5813371e5	0.9570147	0.9515416
5.69e-3	3.8040599e5	3.8040599e5	3.6540868e5	0.976465	0.9708708
5.70e-3	3.8813339e5	3.8813339e5	3.7283144e5	0.9963105	0.9905927

Уменьшим шаг и вычислим порядок сходимости:

P= 2.9842784

Вывод: Результаты данной лабораторной работы идентичны результатам, полученным в предыдущем задании. Здесь потребовалось лишь вывести необходимые формулы. Как и в прошлом задании “хороший” вклад в точность внес предиктор и достаточно маленький шаг, большое количество итераций на данной функции не приносит ожидаемого результата. Скорее всего, если использовать предиктор с разной степенью точности, значения порядков сходимости будут иметь немного другое значение.

Задание №17