Краюхин С.А. ПМ-38 Вариант № 4

САРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ на тему: применение численных методов для решения различных математических задач СТУДЕНТ Краюхин Сергей ГРУППА ПМ-38Д ДАТА 18.12.2010 РУКОВОДИТЕЛЬ РАБОТЫ: ЗАВ. КАФЕДРОЙ: г. Саров, 2010 г.

САРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ЗАДАНИЕ НА КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ по курсу Численные методы СТУДЕНТ Краюхин Сергей ГРУППА ПМ-38Д РУКОВОДИТЕЛЬ ПРОЕКТА: КОНСУЛЬТАНТ ПРОЕКТА:

Наименование темы Применение численных методов для решения

различных математических задач

Место выполнения Отделение 8 РФЯЦ-ВНИИЭФ

Исходные данные: тексты 23 заданий по темам :

1. интерполирование и приближение функций;

2. приближенное дифференцирование и интегрирование;

3. решение алгебраических и нелинейных уравнений;

4. алгебра матриц;

5. решение систем линейных уравнений;

6. нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы;

7. интегрирование дифференциальных уравнений и уравнений в

частных производных, в том числе с применением разностных схем.

Содержание работы: промежуточные выкладки, полученные формулы и

результаты решения поставленных задач с использованием численных методов

Экспериментальная часть: сравнение точных значений и значений,

полученных в результате расчетов с использованием численных методов.

Допуск к защите

К защите представляется:

• Пояснительная записка страниц

• Чертежно-графический материал листов

• Иллюстрационный материал листов

• Экпериментальные макеты шт.

• Приложение страниц

Студент Краюхин С.А., ПМ-38Д допущен к защите

индекс группы, фамилия, имя, отчество

Руководитель

дата, подпись

Работа защищена с оценкой

Члены комиссии:

Содержание:

1. Аннотация ……………………………………………………………стр.5

2. Введение..……………..………………………………………………стр.6

3. Задание 1…………………….…………………………….…….…….стр.7

4. Задание 2…………………….………….……………………….…….стр.10

5. Задание 3…………………….………….……………………….…….стр.13

6. Задание 4…………………….……….…………………………….….стр.19

7. Задание 5…………………….……….………………………….…….стр.22

8. Задание 6…………………….…….…………………………….…….стр.25

9. Задание 7…………………….…….……………………………….….стр.28

10. Задание 8……………………...……………………………………….стр.33

11. Задание 9…… ……………….……………………………………….стр.36

12. Задание 10…………………….……………………………………….стр.41

13. Задание 11…………………….……………………………………….стр.45

14. Задание 12…………………….……………………………………….стр.48

15. Задание 13…………………….……………………………………….стр.54

16. Задание 14…………………….……………………………………….стр.61

17. Задание 15…………………….……………………………………….стр.70

18. Задание 16…………………….……………………………………….стр.73

19. Задание 17…………………….……………………………………….стр.77

20. Задание 18…………………….……………………………………….стр.81

21. Задание 19…………………….……………………………………….стр.85

22. Задание 20…………………….……………………………………….стр.88

23. Задание 21…………………….……………………………………….стр.92

24. Задание 22…………………….……………………………………….стр.97

25. Задание 23…………………….……………………………………….стр.101

26. Заключение……………………………………………………………стр.108

27. Литература…………………………………………………………….стр.109

Аннотация

Данная курсовая работа посвящена использованию численных методов для решения задач по следующей тематике:

1. Интерполирование (приближение) функций;

2. Приближенное дифференцирование;

3. Приближенное интегрирование;

4. Приближенное решение алгебраических и нелинейных уравнений;

5. Алгебра матриц;

6. Решение систем линейных уравнений;

7. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы;

8. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

9. Интегрирование уравнений в частных производных;

10. Применение разностных схем.

Введение.

Современные ЭВМ дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Именно поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникают практически во все сферы человеческой деятельности, а математические модели становятся средством познания.

В процессе познания и в стремлении создать детальную картину исследуемых процессов, мы переходим к необходимости строить всё более сложные математические модели, которые в свою очередь требуют универсального, тонкого математического аппарата.

Разумное использование современной вычислительной техники не мыслимо без умелого применения методов приближённого и численного анализа. Этим и объясняется чрезвычайно возросший как у нас, так и за рубежом интерес к методам вычислительной математики. Реализация математических моделей на ЭВМ осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непрерывно совершенствуется вместе с прогрессом в области электронно-вычислительной техники.

Следует отметить некоторые особенности предмета численных методов.

Во-первых, для численных методов характерна множественность, то есть возможность решить одну и ту же задачу различными методами.

Во-вторых, вновь возникающие естественнонаучные задачи и быстрое развитие вычислительной техники вынуждают переоценивать значение существующих алгоритмов и приводят к созданию новых.

В курсовой работе наибольшее внимание уделяется фундаментальным разделам численных методов: численному решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и разностным методам решения задач математической физики. В частности рассматриваются традиционные разделы численных методов, такие как прямые и итерационные методы решения СЛАУ, интерполирование, численное дифференцирование и интегрирование, решение нелинейных уравнений, методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Одна из задач посвящена проблеме нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы.

Для выполнения курсовой работы потребовалось знание алгебры, математического анализа, ОДУ и уравнений в частных производных в объёме трёх курсов университетского образования.

Задание №1

Интерполирование и приближение функций. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона / 3,5,9,19/.

Для функции , где N - натуральное число, построить (вычислить значения коэффициентов интерполяционного многочлена ) интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона пятой степени с равноотстоящими узлами таким образом, чтобы с помощью полученных полиномов найти наиболее точные значения вышеуказанной функции в точках и . Узлы для интерполяции взять на отрезке с шагом , включая концы отрезка. Выбор точек интерполяции обосновать. Вычислить отклонения полученных значений от точных значений функции в этих же точках (под точными значениями здесь и далее, если не оговорено особо, будем понимать значение функции при непосредственной подстановке значения аргумента, полученное при вычислении либо на ЭВМ, либо на микрокалькуляторе, либо с помощью специальных таблиц). Сравнить теоретическую оценку погрешности с полученной на практике.