§1.3. Решения задачи оптимального управления при наличии интегральных ограничений.

В настоящем разделе рассматривается решение ЗОУ на основе вариационного метода при наличии интегральных ограничений [6]. В этой задаче минимизируется функционал:

(1.32)

Исходные данные и ограничения имеют следующий вид:

; (1.33)

; (1.34)

; (1.35)

Здесь - функция переменных;

- функция переменных;

- вектор-функция переменных.

Ограничение (1.33) называется дифференциальной связью. Четверка называется управляемым процессом, если , , и всюду при выполняется дифференциальная связь (1.33) и допустимым управляемым процессом, если эта четверка является управляемым процессом и, кроме того, выполнены ограничения (1.34) и (1.35). Допустимый управляемый процесс называется локальным минимумом в задаче (1.32), если существует такое , что для любого допустимого управляемого процесса , удовлетворяющего условию , выполняется неравенство .

В приведенной постановке задачи оптимального управления в отличие от рассмотренный ранее присутствуют ограничения (1.35) в виде равенств, называемые изопериметрическими, и ограничения (1.34) в виде неравенств. Форма задания ограничений является достаточно общей и может включать в себя как ограничения на вид траектории движения объекта и управляющего воздействия, представленные функцией , так и краевые условия и , которые можно записать в форме (1.35):

;

Рассматриваемая задача содержит ограничения в форме (1.33), (1.34), (1.35), и поэтому является задачей на условный экстремум функционала. Для перехода к задаче на безусловный экстремум формируем лагранжиан и новый критерий оптимизации , относительного которого ЗОУ решается как задача на безусловный экстремум.

(1.36)

Необходимые условия для решения поставленной задачи сформулированы в следующей теореме [6].

Теорема 1.5.

Пусть - оптимальный процесс в задаче и при этом функции , , и их частные производные по и непрерывны в некоторой окрестности множества , а , непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (условие гладкости).

Тогда обязательно существуют множители Лагранжа , и не равные одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа и лагранжиана выполняются условия:

а) стационарности по - уравнение Эйлера:

; (1.37)

б) трансверсальности по :

, ; (1.38)

в) стационарности по :

; (1.39)

г) стационарности по :

; (1.40)

д) дополняющей нежесткости:

, ; (1.41)

е) неотрицательности:

, . (1.42)

Доказательство теоремы приведено в [6],[2].

Набор условий теоремы для нахождения оптимального процесса является полным. Для определения неизвестных функций , и имеется система из дифференциальных уравнений из (1.34), (1.37) и (1.40). Выразим через и и получим скалярных дифференциальных уравнений. Решение системы зависит от 2n произвольных постоянных и еще множители , . Кроме того, решение задачи требует определения и . Следовательно, всего неизвестных . Для их определения имеется 2 условий трансверсальности, условий дополняющей нежесткости и заданных ограничений (1.35) и два условия стационарности по .

Для задач с закрепленными концами и , условия трансверсальности тоже можно написать, если принять , и , , и эти условия можно рассматривать как соотношение (1.35) в постановке задачи оптимизации. В этом случае условия трансверсальности имеют вид [8]:

, (1.43)

, (1.44)

Соотношения (1.43) и (1.44) не содержат граничные условия, и поэтому условия на концах траектории можно использовать при решении оптимизационной задачи самостоятельно.

Пример

Требуется определить оптимальное управление в задаче, имеющей следующие исходные данные:

, , ,

Критерий оптимизации

Решение

Сделаем замену переменных и , чтобы представить описание объекта в переменных состояния:

, , , , .

Составим лагранжиан и критерий оптимизации :

;

Запишем необходимые условия экстремума:

а) система уравнений Эйлера для лагранжиана :

, , ;

б) условия трансверсальности по для терминанта:

;

, , , ;

в) условия стационарности по управлению

.

Для решения задачи необходимо определить значение . Если принять , то из в) следует, что , тогда из а) имеем и в силу условия б) получаем , т.е. все множители Лагранжа равны нулю, что противоречит условию теоремы о необходимом условии экстремума. Положим . Из системы уравнений Эйлера вытекает, что

Общее решение этого дифференциального уравнения

.

Поскольку , то и по условию стационарности по управлению . Тогда дифференциальное уравнение связи и его решение имеет вид:

;

.

Неизвестные константы определяются из заданных условий на концах:

; ; ;

Следовательно, оптимальная траектория

;

Подставим в уравнение связи и получим функцию оптимального управления :

;

Итак, мы нашли оптимальную пару . Можно показать с помощью непосредственной проверки, что найденный экстремум является абсолютным минимумом.