Глава I. Решение задачи оптимального управления на основе вариационного исчисления и метода множителей лагранжа. §1.1. Метод множителей Лагранжа.

Задачи на определение координат экстремума ( ) функции многих переменных принято называть экстремальными. При этом возможны два варианта постановки задачи. Допустимая область существования , в которой ищется , обеспечивающий не ограничена. Такие задачи называются задачами на безусловный экстремум. Согласно определению функция имеет в точке минимум (максимум) если выполняется неравенство

(минимум) (максимум) (1.1)

Правило решения таких задач сформулировано в теореме Ферма.

Теорема 1.1 Пусть функция многих переменных дифференцируема в точке . Для того, чтобы в этой точке существовал экстремум (минимум или максимум) функции необходимо выполнение условия

при при (1.2)

Доказательство теоремы основывается на том факте, что при малом изменении какого-либо аргумента, например, придания значения , значение функции описывается соотношением

(1.3)

Далее делается допущение, что является точкой минимума . Выбирая достаточно малым и придавая ему произвольный знак, всегда можно добиться того, чтобы условие (1.1) было нарушено, если не выполнено условие (1.2), что противоречит прямому допущению. Точки , в которых выполняется соотношение (1.2), называют стационарными.

Если принадлежит ограниченной области и не является внутренней точкой , то условие (1.2) не является необходимым. Например, пусть допустимыми являются только значения и точка такова, что какая-либо компонента, например, . Тогда в этой точке может достигаться минимум, если даже , что также прямо следует из (1.3), поскольку в этой формуле можно выбирать только . Как правило, допустимая область явно задается с помощью системы условий в виде уравнений или неравенств, которым должны удовлетворять значения . Кратко это можно записать в виде:

(1.4)

Экстремальная задача при наличии ограничений на называется задачей на условный экстремум. Если определен экстремум функции при наличии ограничений, то этот экстремум называется условным (локальным).

Для решения задач на экстремум функции многих переменных французским математиком Лагранжем в веке был предложен метод, который получил название «метод множителей Лагранжа».

Пусть ограничения на область имеют форму равенств , требуется определить

(1.5)

Для решения задачи составляется функция Лагранжа (лагранжиан) как сумма экстремизируемой функции и функций ограничения умноженных на множители Лагранжа , :

(1.6)

Далее, согласно методу Лагранжа решается задача на экстремум функции без ограничений. Следовательно, метод Лагранжа позволяет свести задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум. Сформулированная ниже теорема показывает что стационарные точки исходной и приведенной задачи совпадают. Однако, надо отметить, что вид экстремума (min или max, точка перегиба) может не совпадать.

Теорема 1.2. Пусть в задаче (1.5) все функции непрерывно дифференцируемы в окрестности точки . Если - точка локального экстремума в задаче (1.5), то необходимо существование множителей Лагранжа , не равных одновременно нулю и таких, что выполняются условия стационарности функции Лагранжа по .

при

(1.7)

Если при этом выполняются условия регулярности , то заведомо существуют такие , причем [2]. Нужно заметить, что множители Лагранжа определены с точностью до пропорциональности. Если известно, что , то можно, умножив все на константу, добиться равенства . Тогда число уравнений (1.7) сравняется с числом неизвестных. Согласно содержанию метода Лагранжа, точки являются подозрительными на экстремум. Для того, чтобы выяснить, будет ли в этих точках в действительности реализовываться локальный минимум, максимум или точка перегиба, нужно провести дополнительные исследования либо путем привлечения вторых производных функций Лагранжа по переменной , либо путем вычисления .

Теперь рассмотрим вопрос применения метода множителей Лагранжа при наличии ограничений в виде неравенств. Для определенности рассмотрим задачу:

определить (1.8)

где - гладкие функции, . Путем введения новых переменных превратим ограничения неравенства в уравнения:

(1.9)

Переменная берется в квадрате для того, чтобы не вводить ограничения на ее знак, обеспечивающий равенство (1.9). Решение задачи (1.8) с учетом (1.9) проводим по вышеописанной методике. Составляем расширенный лагранжиан:

, (1.10)

Функция , в отличие от , зависит от переменных . Необходимые условия безусловного экстремума состоят из следующих уравнений:

Условия минимума по :

, (1.11)

Условия минимума по

, (1.12)

При этом минимум достигается только при условии

, (1.13)

Ограничения (1.13) называются условиями неотрицательности. Они имеют тот же смысл, что и в линейном программировании. При отсутствии ограничения на величину (всегда положительного слагаемого) и при решении задачи на минимум функции отрицательное значение дает . Условия (1.12) означают, что в точке минимума либо , либо , т.е. с учетом (1.9):

, (1.14)

Эти условия обычно называют условиями дополняющей нежесткости (если какое-либо неравенство выполняется в точке минимума нежестко, т.е. точка не лежит на поверхности, определенной условием (1.9), то соответствующий множитель должен быть жестко равен нулю или наоборот). Строгий результат может быть сформулирован в виде теоремы [3].

Теорема 1.3. Для того, чтобы в точке достигался минимум функции в области

, необходимо, чтобы существовали числовые множители , , не равные одновременно нулю, и такие, чтобы они совместно с удовлетворяет системе условий:

(1.15)

Функции предполагаются непрерывно дифференцируемыми в точке . Если, кроме того, при выполнено условие регулярности для , кроме таких, для которых , то указанный набор множителей существует, причем , так что функция Лагранжа может быть записана с .