§3. Вычислительные аспекты алгоритма адаптации.

3.1 Градиентные методы

Согласно постановке задачи адаптации критерий качества в АдСУ является функцией многих переменных. Обозначим их вектором . Для решения задачи адаптации требуется определить значения составляющих вектора , при которых функция имеет extr. Согласно классическим принципам математики необходимым условием extr функции при отсутствии ограничений является

Алгоритм определения вектора , при котором принимает extr, состоит из следующих действий: вычисляется , если градиент не равен нулю, то величина составляющих аргумента изменяется в направлении движения к extr (т.е. уменьшению или увеличению значения ) до тех пор, пока не достигнуто условие .

Если изменение составляющих вектора осуществляются на основании информации о градиенте функции , то соответствующие методы определения положения extr называются градиентными. Общая форма организации движения к extr функции по градиентным методам сводится к изменению составляющих , при которых скорость изменения их связана с градиентом соотношением: , где квадратная матрица, зависящая в общем случае от элементов . В зависимости от вида матрицы получают тот или иной тип градиентного алгоритма [12].

а) Метод градиентного спуска – наиболее распространенный метод градиентного определения extr функции многих переменных. В этом случае , где I – единичная матрица.

Вектор изменяется так, что скорость его изменения оказывается пропорциональной по правилу

при определении max, при определении min

(1.1)

В контуре адаптации градиент измеряется непрерывно в процессе изменения . Задается начальное значение . Вычисляется градиент, затем каждую компоненту вектора изменяют со скоростью пропорциональной составляющей градиента по этой компоненте. Блок-схема этого алгоритма показана на рис. 1.4

Рис. 1.4

Можно показать, что при изменении по (1.4) алгоритм определения точки extr сходится:

Так как , то при критерий увеличивается, при критерий уменьшается, и это изменение будет происходить до тех пор, пока не будет выполнено условие

При дискретной реализации алгоритма:

Движение точки к extr происходит поэтапно: вычисляется градиент на шаге k, а затем изменяются значения Вычисления проводятся до появления соотношения - при определение max. Это означает, что функция имеет extr на шаге с номером k. Дискретный алгоритм чувствителен к величине γ. При малых γ алгоритм сходится медленно, а при больших γ возможно “перешагивание” точки extr и процесс будет расходиться.

б) Метод наискорейшего спуска. Градиент вычисляется в начальной точке и определяет направление движения к extr функции . Согласно изменяются . Одновременно определяется значение в этом направлении до точки , где будет получено условие , означающее, что в данном направлении достигнут extr . Затем в точке вновь определяется градиент и изменение составляющих идет согласно . Процедура повторяется до наступления условия , где - точка extr. Следует заметить, что если поверхность функции - гладкая без “оврагов”, то оба варианта по скорости совпадают.

в) Обобщенный метод Ньютона. Коэффициент пропорциональности γ приращения составляющих вектор определяется гессианом:

В общем случае метод обладает большей скоростью сходимости, так как благодаря гессиану более полно учитывается профиль функции . Однако вычислительная реализация алгоритма является существенно более сложной.

г) Метод Гаусса-Зейделя. Движение к extr функции многих переменных осуществляется путем попеременного движения по одной из составляющих при неизменном значении всех остальных. Изменение аргумента происходит до тех пор, пока за счет изменения функция не достигнет экстремального значения. Изменять значение можно, например, в соответствии с непрерывной и дискретной формами градиента:

или

При дискретной форме движение по координате прекращается, когда при поиске max. Тогда следует вернуться в точку k, определить значение на шаге k, зафиксировать значение и перейти к изменению другой координаты.

3.2 Определение аргумента критерия .

Классические методы определения extr функции многих переменных, безусловно, являются основой построения алгоритмов работы контура адаптации. Однако значительной трудностью решения задачи адаптации является определение аргумента критерия качества . С одной стороны должен отражать взаимосвязь параметров регулятора и требуемое качество процесса управления, а с другой стороны аргумент критерия необходимо сформировать на основе переменных сигналов АдСУ, которые можно измерить. В различных АдСУ существует много способов решения этой задачи.

Основной информацией в АдСУ прямого подхода является рассогласование (невязка) между выходными сигналами эталонной модели (ЭМ) и ОУ . Очевидно, невязка непосредственно связана с параметрами регулятора . В этом случае критерий качества в том или ином виде представляется функцией от этого рассогласования . Минимизация величины в пространстве позволяет определить оптимальное значение оценок .

В системах непрямого адаптивного управления оценки параметров ОУ являются результатом решения задачи идентификации ОУ согласно критерию (целевой функции) , который формируется как функция от рассогласования параметров ОУ и модели , при этом, как правило, информацией о рассогласовании служит также разность

Как известно, задачи на экстремум целевой функции могут быть решены поисковыми и беспоисковыми алгоритмами. При использовании поисковых алгоритмов решение задачи сопровождается испытаниями адаптивной системы по параметрическим каналам. С определенной периодичностью искомые параметры изменяются на величину шага поискового алгоритма, что приводит к изменению значения целевой функции. В блоке АА проводится анализ этого изменения и принимается решение о величине и знаке следующего шага. При действии на ОУ случайных возмущений и случайном изменении параметров ОУ целевая функция ( может иметь несколько экстремумов по настраиваемым параметрам [14]. В этом случае беспоисковые алгоритмы часто оказываются неработоспособными.

Беспоисковые алгоритмы контура адаптации содержат вычислительные процедуры, которые позволяют определить искомые параметры ( или ), используя текущую информацию о сигналах в контурах АдСУ, которые можно измерить и в некоторых случаях также априорную информацию о структуре и параметрах ОУ (метод вспомогательного оператора). Математической основой алгоритмов вычисления текущих значений параметров регулятора = ( ) или = ( ( , t)) являются методы решения задач оптимизации. При этом аргументами названных целевых функций могут быть некоторые переменные из совокупности на входе и выходе ОУ, а также задающее воздействие g(t) или сигнал ошибки основного контура = и их производные. Обозначим используемую в алгоритме адаптации переменную через . Составляющие вектора явно зависят от вычисляемых параметров и измеряются в системе непосредственно датчиками или косвенно через другие переменные. Так в системе прямого адаптивного управления таким аргументом может быть выбрана ошибка , где u(t) - реальное управляющее воздействие на входе объекта, - оптимальное в определенном смысле управление. Пусть , тогда зависит от (t) и (t), т.е. = ( , ). Для линейных систем часто принимают закон управления (t) = (t). Для вычисления текущих значений параметров форма во многих случаях выбирается в виде квадратичной функции:

(1.2)

Из (1.2.) следует, что минимизация ведет к сокращению несоответствия параметров регулятора идеальному значению , что в свою очередь позволит получить равенство (t)= . Наиболее распространенными методами решения задач оптимизации функционала являются градиентные алгоритмы. Достаточно просто работа блока АА (алгоритма адаптации) строится на основе метода градиентного спуска [1]. Непрерывный алгоритм градиентного спуска записывается в виде:

= ^­ Г(t) J_k( (t), (t)) (1.3)

Здесь = задан; Г = Г(t) > 0 - положительно определенная числовая матрица, от которой зависят «коэффициенты усиления» вычислительной процедуры (3.3)

- градиент по аргументу .

Для дискретного времени t = =kΔt, Δt = const, градиентный алгоритм минимизации по имеет вид:

(1.4)

Содержание алгоритма сводится к рекуррентной последовательности вычислений: задается начальное значение , в этой «точке» вычисляется и при выбранной матрице Г₁ (например, Г₁ = γI) вычисляется новое значение ; далее все повторяется до тех пор, пока на некотором шаге не образуется неравенство J_k ( ) > J_k( ).

Работоспособность алгоритмов, использующих этот базовый градиентный метод вычислений, зависит от формы целевой функции и от выбора матрицы Г. Во многих случаях Г = γ · I, где γ > 0 - постоянное число, I - единичная матрица. В других случаях - матрица переменных во времени коэффициентов: для всех k = 0,1… В любом случае или нужно выбрать так, чтобы вычислительный алгоритм сходился и тем самым достигалась цель адаптивного управления.

В методе наискорейшего градиентного спуска (метод Ньютона) матрица , т.е. значение выбирается на каждом k-ом шаге из условия достижения минимального значения целевой функции

J_k( ) =

Это дополнение к градиентному алгоритму делает его алгоритмом наискорейшего спуска.

В процессе адаптивного управления уменьшение целевой функции при t (или на каждом шаге k = 1,2…) еще не означает устойчивость работы АдСУ. Адаптивная система содержит два взаимосвязанных контура с определенными динамическими свойствами. При построении алгоритма настройки параметров регулятора динамические свойства контуров не учитывались. Влияние внешних воздействий на переходные режимы в контурах и настройка параметров регулятора создают совокупность взаимодействий, которые могут привести к неустойчивому процессу в основном контуре. Поэтому для каждой спроектированной АдСУ вопрос устойчивости необходимо исследовать специально с целью определения параметров функциональных блоков, обеспечивающих устойчивость работы системы в целом. Наиболее известный метод обеспечения сходимости алгоритма адаптации системы в целом основан на применении прямого метода Ляпунова [12].

Исходя из формы функций градиентных алгоритмов контура адаптации в качестве простой функции Ляпунова можно принять функцию вида . Тогда при идеальных настройках регулятора, полученных в результате применения метода , управляющее воздействие выходная переменная объекта управления ^* и основное целевое условие АдСУ выполняется.

Для формирования закона (t) могут быть использованы не только текущие значения выходных переменных ОУ, но и задающие воздействия и прошлые значения (t-τ) τ < t. Вся измерительная информация формируется в виде вектора измерений , и закон управления можно принять в линейной форме .

Условие сходимости алгоритма адаптации в соответствии с методом Ляпунова выводится из условия убывания функции вдоль траектории - вектора переменных состояний ОК. Принимаем критерий адаптации (целевое условие) в виде квадратичной формы обобщенной невязки :

J_k( = σ²(t)=[ ]² (1.5)

Базовый дискретный градиентный алгоритм для квадратичной функции (3.5) имеет вид:

= (1.6)

Значение обобщенной невязки определяется по выражению . Начальные значения задаются. Цель адаптации состоит в достижении неравенства │σ_k│< при любом начиная с момента .

Для обеспечения устойчивости АдСУ следует осуществить выбор коэффициента на основе выбранной квадратичной функции Ляпунова. Из условия < 0 следует минимизация обобщенной ошибки и цель адаптации достигается при .