2.4. Концентрация электронов и дырок

Если известны плотность состояний N(E) и вероятность заполнения состояния с энергией Е, то число электронов с энергией в интервале dE, приходящихся на единицу объема будет равна:

dn=F(E)N(E)dE (2.47)

Соответственно полное число электронов, для которых возможный интервал энергий лежит в пределах от E₁ до E₂ будет определяться интегралом:

(2.48)

Интегрирование нужно проводить от дна зоны проводимости E_C до ее потолка. Если учесть резкую зависимость F(E) от энергии, то верхний предел интегрирования можно положить равным бесконечности.

В результате для равновесной концентрации электронов будем иметь:

= (2.49)

Введем безразмерные величины:

и (2.50)

Величину  называют приведенным уровнем Ферми. Величина  - приведенная энергия. Равенство (2.49) преобразуем к виду:

n₀== (2.51)

Здесь F_1/2 - интеграл Ферми-Дирака порядка ½ (рис. 2.6), N_C - эффективная плотность состояний в зоне проводимости:

(2.52)

N_c= (2.52а)

Эффективная плотность состояний N_C зависит от температуры. Подставив константы получим:

N_c=4.82*10^{15 =}

Аналогично находим концентрацию дырок, приняв во внимание, что вероятность возникновения вакантного уровня в валентной зоне равна 1-F(Е). Интегрирование следует проводить в пределах от - до Ev. p0= (2.53) Обозначим и и (2.54) где Ec-Ev=Eg -ширина запрещенной зоны. С учетом (2.53) и (2.54) выражение для концентрации дырок примет вид:
	Рис. 2.6. Зависимость интеграла Ферми-Дирака F1/2 от положения уровня Ферми.

(2.55)

где: = - (2.56)

есть интеграл Ферми для валентной зоны.

N_v= - (2.56а)

эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Для того чтобы рассчитать равновесные концентрации электронов n₀ и дырок p₀ необходимо рассчитать значения интеграла Ферми-Дирака (2.52) и (2.56), что представляет значительные трудности для всего диапазона положения уровня Ферми в зонах η. Аналитические решения для интеграла Ферми-Дирака существуют только для крайних случаев – невырожденного и сильно-вырожденного полупроводника.

Рассмотрим три случая.

Первый соответствует невырожденному примесному полупроводнику (рис. 2.7, область A, рис. 2.8).

Принято считать, что полупроводник не вырожден, если:

или (2.57)

Это означает, что в невырожденном донорном полупроводнике уровень Ферми лежит ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько кТ. В этом случае для электронов, находящихся в зоне проводимости и обладающих энергией , в функции распределения Ферми-Дирака экспоненциальный член будет намного больше единицы, поэтому

(2.58)

Таким образом, в невырожденном полупроводнике носители заряда подчиняются статистике Больцмана. В соответствии с этим интеграл Ферми запишется в виде:

(2.59)

Равновесные концентрации электронов n₀ и дырок p₀ для случая невырожденного полупроводника соответственно равны (рис. 2.7 (А), рис. 2.8):

(2.60)

(2.61)

Физический смысл параметров N_c и N_v – плотность состояний в зоне проводимости и валентной зоне. Формулы для N_c и N_v определяют пределы заполнения энергетических уровней вблизи дна зоны проводимости и валентной зоны.

Зная концентрацию свободных носителей заряда можно оценить положение уровня Ферми в запрещенной зоне. Для полупроводника n-типа проводимости при комнатной температуре эту зависимость можно записать в виде:

(2.61а)

или	-1<η<5	или
Рис. 2.7. Зависимость концентрации электронов проводимости n0 от положения приведенного уровня Ферми.
Рис. 2.8. Зонная диаграмма, плотность состояний, распределение Ферми-Дирака и концентрация носителей заряда в собственном (а), донорном (б) и акцепторном (в) полупроводниках при термодинамическом равновесии.

Если уровень Ферми совпадает с дном зоны проводимости (т.е. E_F=E_C), тогда из формулы 2.60 следует, что n_o=N_C. Т.е. при легировании полупроводника донорной примесью до концентрации n_o ~ N_C - уровень Ферми приближается к краю запрещенной зоны (аналогично – для легирования акцепторной примесью). Полупроводник является вырожденным, если уровень Ферми расположен вблизи границ разрешенной зоны (в интервале ± несколько kT от E_C или E_V) .

В Si при Т=300 К: N_c=2.8*10¹⁹cm^-3 N_v=10¹⁹cm^-3

Второй случай - сильно вырожденный примесный полупроводник (рис. 2.7, область C, рис.2.9.

Донорный полупроводник считается сильно вырожденным при:

(2.62)

т.е. когда уровень Ферми расположен в зоне проводимости по крайней мере на 5кТ выше Е_c. Условие (2.62) действует и при очень низкой температуре. Если kT  0, то η₀  ∞ (здесь η₀ – приведенный уровень Ферми при нулевой температуре). В этом случае в выражении (2.52) знаменатель = 1, а бесконечный верхний предел интегрирования можно заменить η₀. Тогда равновесная концентрация электронов в сильно вырожденном донорном полупроводнике будет равна:

(2.63)

При этом концентрация дырок в сильно-вырожденном полупроводнике n-типа проводимости задается формулой (2.61)!!!

Зная концентрацию свободных носителей заряда можно определить положение уровня Ферми:

(2.63а)

Равновесная концентрация дырок в сильно вырожденном акцепторном полупроводнике запишется следующим образом:

, (2.64)

При этом концентрация электронов находится из соотношения (2.60).

Из равенств (2.63) и (2.64) следует, что концентрация свободных носителей заряда в сильно вырожденном полупроводнике не зависит от температуры. Она определяется положением уровня Ферми и величиной эффективной массы. При этом, чем меньше эффективная масса носителей заряда, тем соответственно и меньше их концентрация, при которой наступает вырождение.

E EF EC ED Eg EV

E N(E) N(E)

E EF EC EV F(E)

E EF EC EV n0; p0

Рис. 2.9. Зонная диаграмма, плотность состояний, распределение Ферми-Дирака и концентрация носителей заряда в сильно-вырожденном полупроводнике n-типа проводимости при термодинамическом равновесии.

Третий случай – вырожденный полупроводник (рис. 2.7, область В).

При расположении уровня Ферми вблизи границы зон (зона проводимости/запрещенная зона) -1<η<5, точного (аналитического) выражения для интеграла Ферми-Дирака не существует. В этом случае используют либо табулированные (численно-рассчитанные) значения интеграла Ферми-Дирака, либо применяют полуэмпирические формулы, например, в виде . Тогда зависимость n₀ в зоне проводимости от положения уровня Ферми может быть представлена как:

(2.65)

Вместе с тем, расчет концентрации носителей по формуле (2.65) может давать существенную погрешность, поэтому на практике, как правило, используют специальные таблицы интегралов Ферми-Дирака. Зависимость интеграла Ферми-Дирака F_1/2 от η при расположении уровня Ферми вблизи зоны проводимости в интервале E_C ± 6 kT представлена на рис. 2.6.