1.2 Законы распределения в теории надежности

Теория надежности имеет дело со случайными величинами. Ведь нельзя точно предсказать расчетным путем, что ваш телевизор, например, откажет в 2010 году 10 января в 9 часов 53 минуты.

Полным описанием случайной величины является ее закон распределения.

Плотность распределения случайной величины (дифференциальная функция распределения, плотность распределения) – предел отношения вероятности того, что случайная величина ξ при испытаниях примет значение, лежащее в интервале [t, t+∆t], к величине интервала ∆t, когда ∆t→0:

(1.1)

Иными словами, плотность распределения есть первая производная от интегральной функции распределения

(1.2)

Законов распределения случайных величин много. Основные из них приведены в таблице 1.1.

При изучении надежности технических устройств наиболее часто применяются следующие законы распределения времени безотказной работы (Т): экспоненциальный, нормальный, Релея, Вейбулла.

Стареющие распределение (Релея, нормальное, Вейбулла при k >1), характеризуемые возрастающей со временем интенсивностью отказов, присущи объектам, подверженным износу (механические и электромеханические объекты типа автомобиль, лентопротяжный механизм, электродвигатель, электронные компоненты типа кинескоп, радиолампа и т. п.).

Радиоэлектронные объекты описываются обычно экспоненциальным законом распределения.

Основными числовыми характеристиками законов распределения являются математическое ожидание:

(1.3)

и дисперсия

(1.4)

Дисперсия распределения (см. формулу 1.4) имеет значение квадрата описываемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое среднеквадратическим отклонением:

(1.5)

Основные законы распределения

Вид распределения	Плотность распределения случайной величины
	График	Математическое описание
Равномерное
Нормальное
Экспоненциальное
Релея
Вейбулла

1.3 Показатели надежности невосстанавливаемых объектов

В инженерной практике сложились две формы представления показателей надежности: вероятностная и статистическая [1].

Вероятностная форма обычно бывает удобнее при априорных аналитических расчетах надежности, статистическая – при экспериментальном исследовании надежности технических объектов. С ростом числа испытываемых объектов статистические показатели приближаются к аналитическим вероятностным показателям.

1. Вероятность безотказной работы (вбр) в интервале времени (0…t)

а) вероятностное определение:

(1.6)

где ξ₁ – случайная наработка до первого отказа,

F(t) – функция распределения времени до отказа.

Т.е. P(t) – это вероятность того, что наработка до отказа больше заданного времени t

б) статистическое определение:

(1.7)

где N(t) – число работоспособных объектов в момент времени t;

N(0) – число исправных объектов в начальный момент времени t=0;

n(t) – число объектов отказавших к моменту времени t.

Этот показатель обладает следующими свойствами:

• P(0)=1;

• P( )=0;

• (объект не может после отказа спонтанно восстановиться);

• ВБР указывается для определенных времен t, выбираемых из нормированного ряда: 100, 500, 1000, 2000, 5000, 10000, … .