8.1. Оборотність та продукування роботи

8.1.1. Роботоздатність системи

Ізольована система може виробляти роботу лише у випадку, коли вона не знаходиться в повністю рівноважному стані. Якщо виключити із розгляду хімічні процеси, то, для того щоб ізольована система могла виконати роботу, необхідно, щоб тиск або температура різних робочих тіл, які входять в цю систему, не були абсолютно однаковими. В системі, яка має робочі тіла з різними тисками, відсутня механічна рівновага; якщо в системі є робочі тіла з різними температурами, то в ній відсутня термічна (теплова) рівновага. Тільки нерівноважна система може виконувати роботу. По мірі виконання роботи ізольована система буде наближатися до рівноважного стану.

Величина виробленої роботи залежить від характеру процесу переходу системи до рівноважного стану, тобто, яким шляхом система переходить із нерівноважного стану в рівноважний.

Допустимо, наприклад, що ізольована система складається із навколишнього середовища, температура і тиск якого практично залишаються незмінними, та стиснутого повітря, яке має ту ж температуру, що і навколишнє середовище, яке його оточує, але вищий тиск. Така система знаходиться в термічній рівновазі, але в механічно нерівноважному стані. Потрібна система може продукувати роботу, наприклад, пересуваючи поршень в циліндрі до тих пір, поки тиск повітря не понизиться до тиску навколишнього середовища, тобто поки система не перейде в стан механічної рівноваги.

Якщо в системі є два джерела теплоти, що мають різні температури, і робоче тіло, початковий стан якого значення не має, то ми маємо справу з термічно неврівноваженою системою, яка може виконати роботу, наприклад, шляхом неодноразового повторення робочим тілом циклу Карно. В результаті здійснення циклу Карно не тільки буде виконана деяка робота, але також досить певна кількість теплоти передається від джерела з вищою температурою до джерела з нижчою температурою. Але а результаті такого переходу теплоти температура ГДТ буде понижуватися, а ХДТ – підвищуватися. З часом температури джерел теплоти стануть однаковими, система досягне термічної рівноваги і дальше виконання роботи стане неможливим.

Таким чином, продукування роботи ізольованою системою можливе в процесі переходу системи із нерівноважного стану в рівноважний. І величина цієї роботи буде залежати, як було вже сказано, від характеру процесу переходу системи до рівноважного стану (від характеру шляху).

Допустимо тепер, що є термічно нерівноважна система, яка складається із двох джерел теплоти, що мають різні температури, та робочого тіла. У випадку, коли теплота передається від ГДТ до ХДТ безпосередньо, без посередництва робочого тіла, то через деякий час температури всіх робочих тіл системи вирівняються, система буде в стані термічної рівноваги і ніякої роботи не буде взагалі вироблено. Такий процес обміну без продукування роботи обов’язково повинен проходити при кінечній різниці температур, тобто необоротно. Навпаки, максимальна робота при переході системи із термічно неврівноваженого стану в рівноважний може бути отримана в результаті неодноразового здійснення робочим тілом циклу Карно, в якому найбільша температура робочого тіла дорівнює температурі ГДТ, а найменша – ХДТ, тобто тільки в результаті здійснення повністю оборотних процесів.

У випадку механічно нерівноважної системи (напр., поршневої повітряної машини) максимальна робота буде виконана нею тільки при повній відсутності тертя між стінками поршня та циліндра (тертя являє собою типовий необоротний процес) тобто в повністю оборотному процесі.

Визначимо поняття корисної роботи, максимальної роботи та максимальної корисної роботи.

Під корисною роботою розуміють ту частину роботи, яка може бути використана на наш розсуд (за нашим бажанням). Корисна робота, яку може виконати система – це роботоздатність системи.

Маємо ізольовану систему, яка складається із навколишнього середовища (р₀, Т₀), та тіла або групи тіл, параметри яких відрізняються від Т₀ та р₀ (джерела роботи). Позначимо через U₁ та V₁ відповідно внутрішню енергію та об’єм джерела роботи в початковому, неврівноваженому стані, а через U₂ та V₂ -внутрішню енергію та об’єм джерела роботи в кінцевому, врівноваженому по відношенню до навколишнього середовища, стані. Джерело роботи змінює свої параметри від початкових нерівноважних U₁ та V₁ до рівноважних з навколишнім середовищем U₂ та V₂. Початкові тиск та температуру джерела роботи позначимо через р і Т, а кінцеві – р₀ і Т₀ (дорівнюють параметрам Н.С.). При чому р ¹ р₀, та Т ¹ Т₀, значить система може виконати роботу, бо вона є нерівноважною. Початкова внутрішня енергія середовища U₀₁, кінцева – U₀₂, а ентропії S₀₁ та S₀₂ відповідно.

Корисна робота, вироблена ізольованою системою при переході із нерівноважного стану в рівноважний

L_кор = (U₁ - U₂) – T₀(S₀₂ - S₀₁) – p₀(V₂ - V₁). (8.1)

Рівняння (8.1) дає значення корисної роботи, яку продукує ізольована система при переході із нерівноважного стану в рівноважний, так як із всієї виробленої роботи вираховується (віднімається) її частина р_о(V₂ - V₁), затрачена на стиснення середовища і, значить, не може бути використана на наш розсуд (за нашим бажанням ).

Але рівняння (8.1) не дає ще величини максимальної корисної роботи, так як не обумовлює обов’язкової оборотності всіх процесів, які протікають в системі.

Щоб знайти величину максимальної корисної роботи (роботоздатності) ізольованої системи допустимо, що ентропія ізольованої системи в результаті протікання оборотних процесів не змінюється, тобто, якщо ентропія джерела роботи зменшиться на величину S₁ - S₂, то відповідно ентропія середовища повинна зрости на таку ж величину, тобто, для оборотних процесів справедливо

S₀₂ – S₀₁ = S₁ – S₂. (8.2)

Тоді, враховуючи рівняння (8.1) та (8.2), запишемо вираз для розрахунку максимальної корисної роботи ізольованої системи, тобто робото здатності:

L^max _кор. = (U₁ – U₂) – T₀(S₁ – S₂) – p₀(V₂ – V₁). (8.3)

Отже, як видно з цього співвідношення, величина роботоздатності системи однозначно визначається початковими параметрами джерела роботи (Т₀, p₀) та параметрами середовища (U₁, U₂, S₁, S₂, V₁, V₂).

Як видно із рис. 8.1, точки 1 і 2 лежать на одній і тій же ізотермі (ізотермі середовища Т₀ = const), тому система знаходиться в термічній рівновазі (Т₀ = Т₁ = Т₂), але не в механічній, бо р₁ > р₀. Чому в даному випадку дорівнює роботоздатність середовища? Цю задачу можна розв’язати або за рівнянням (8.3), або з допомогою р-V – діаграми (рис. 8.1).

Рис. 8.1. До визначення роботоздатності ізольованої системи: т. 1-параметри системи в початковому стані; т. 2 – параметри системи, що відповідають параметрам середовища р₀, Т₀

Розв’яжемо її за допомогою графіка. Роботоздатність системи буде вичерпаною після того, як джерело роботи із початкового стану 1 перейде в стан 2, тобто після того як ізольована система досягне стану рівноваги. Для того щоб системою була виконана максимально можлива робота, необхідно, щоб процес переходу джерела із стану 1 в стан 2 здійснювався повністю оборотно. Отже, необхідно перш за все визначити можливий оборотний процес (або сукупність оборотних процесів) при переході джерела роботи із 1 до 2. Для спрощення приймемо, що джерело роботи має властивість ідеального газу.

В даній системі єдиним джерелом теплоти, який має незмінну температуру, є середовище. Тоді оборотний процес можна собі уявити або при відсутності теплообміну між джерелом роботи та середовищем (адіабатне розширення або стискання джерела роботи), або при наявності теплообміну між джерелом роботи та середовищем, але обов’язково при постійній температурі середовища Т₀ (ізотермічне розширення або стискання джерела роботи при температурі Т₀).

У всіх інших процесах неминуче буде мати місце теплообмін між джерелом роботи і середовищем при кінечній різниці температур і в цьому випадку здійснення оборотного процесу неможливо. Це значить, що єдино можливим оборотним процесом між станами 1 і 2 є розширення газу по ізотермі Т₀. Робота, продукована в цьому процесі, еквівалентна площі 1-2-в-а-1.

Але не вся вироблена робота може бути використана по нашому бажанню (на наш розсуд): частина виробленої роботи, яка еквівалентна площі а-с-2-в-а, неминуче витрачається на витіснення середовища (здійснюється проти постійного тиску середовища р₀). Отже, максимально можлива корисна робота, яка дорівнює різниці всієї виробленої роботи (пл. 1-2-в-а-1) і роботи, затраченої на витіснення середовища (пл. а-с-2-в-а), буде еквівалентна площі 1-2-с-1.

Цей же результат можна отримати безпосередньо за рівнянням (8.3). Джерело роботи, яке використовується в даному прикладі, володіє властивостями ідеального газу (за умовою), і так як температура джерела в станах 1 і 2 однакова і дорівнює Т₀, то внутрішня енергія джерела роботи в станах 1 і 2 також однакова і перший доданок в рівнянні (8.3) дорівнює нулю. Другий доданок рівняння – кількість теплоти, підведеної до джерела роботи в ізотермічному процесі при температурі Т₀, дорівнює роботі в цьому процесі (внутрішня енергія залишається постійною). Так як в процесі ізотермічного розширення підводиться теплота, то ентропія джерела роботи зростає, S₂ > S₁, і тому другий доданок буде додатним. Числове значення його буде еквівалентним площі 1-2-в-а-1 (рис. 8.1). Останній доданок рівняння буде від’ємним (V₂ - V₁), а його числове значення еквівалентне площі а-с-2-в-а. Отже,

L^max._кор.= (площа 1-2-в-а-1) - (площа а-с-2-в-а) = (площа 1-2-с-1),

що, як і потрібно було очікувати, співпадає з раніше отриманим результатом.

Максимальну корисну роботу (роботоздатність) ізольованої системи, яка складається із джерела роботи і навколишнього середовища можна розрахувати за рівнянням (8.3):

L_{корисн .}= (U₁ – U₂) – T₀(S₁ – S₂) – p₀(V₂ – V₁);

тут індекси 1 і 2 відносяться відповідно до початкового (нерівноважного) та кінцевого (рівноважного) станів цієї системи; U, S i V – внутрішня енергія, ентропія та об’єм джерела роботи; р₀ і Т₀ – тиск та температура середовища (вони дорівнюють тиску та температурі джерела роботи в стані 2, коли джерело роботи приходить до термодинамічної рівноваги із середовищем). Тиск джерела роботи в початковому, нерівноважному із середовищем стані – р₁. Але так як рівняння (8.1) написано для L_кор., тобто для випадку, коли в системі протікають необоротні процеси, а рівняння (8.3) написано для L_кор.^макс, тобто для випадку, коли в системі протікають тільки оборотні процеси, то

(S₀₂ - S₀₁) > (S₁ - S₂) і

L^max._кор. - L_кор.= T₀[(S₀₂ - S₀₁) - (S₁ - S₂)] = T₀•S_сист., (8.4)

де S_сист. = [(S₀₂ - S₀₁) - (S₁ - S₂)] - збільшення ентропії системи в результаті необоротних процесів, які протікають в ній.

Відмітимо ще раз, що L^max._кор –це максимально можлива корисна робота, яку може виконати дана ізольована система, якщо процеси, що призводять до встановлення рівноваги в цій системі, будуть протікати оборотно (роботоздатність системи), а L_кор. - це величина роботи, яку продукує та ж сама система у випадку необоротності процесів, які протікають в ній. Різниця цих величин представляє собою втрату роботоздатності системи внаслідок необоротності процесів, що протікають в цій системі. Із рівняння (8.4) видно, що чим більший ступінь необоротності цих процесів, тобто чим більша величина L_сист., тим більша величина втрати роботоздатності системи.

Рівняння (8.4) має універсальне значення, зокрема, для ізольованої системи, яка складається із двох джерел теплоти і робочого тіла, яке здійснює цикл, тобто для теплосилової установки.

Так як робоче тіло здійснює цикл, то всі його параметри в результаті залишаються незмінними, незалежно від того, оборотні чи необоротні процеси, що протікають в системі. Ентропія ГДТ зменшується, так як теплота цим джерелом віддається, ентропія ХДТ зростає, при чому S”_гор..= S”_хол., тобто наскільки зросте ентропія ХДТ S”_хол., на таку ж величину S”_гор., зменшиться ентропія ГДТ. Тоді

S_хол. = S’_хол. +  S”_{хол .} та S_гор. = S’_гор. - S”_гор..

Відмітимо, що S_сист. =S_хол. - S_гор.. - зміна ентропії всієї ізольованої системи, яку розглядають, в той же час ентропія робочого тіла в циклі не змінюється. Таким чином втрату роботоздатності позначимо як L (8.4):

L = T₀•S_сист.. (8.5)

Величину L називають також енергетичною втратою системи, а рівняння (8.5) - рівнянням Гюї- Стодоли.