11.4. Теорема Остроградского – Гаусса

• Аналогично силовым линиям вводятся линии индукции: это линии, вектор индукции к которым направлен по касательной в каждой их точке.

• Поток вектора электростатической индукции Ф_D , Кл.

П отоком Ф_D вектора электростатической индукции через поверхность площадью S называется число линий индукции, пересекающих заданную поверхность (рис. 11.9). Элемент потока dФ_D через элемент поверхности dS определяется формулой (рис. 11.10):

.

Конечный поток через поверхность S:

.

• Теорема Остроградского – Гаусса

Поток вектора электростатической индукции через любую замкнутую поверхность, охватывающую систему зарядов, равен алгебраической сумме зарядов внутри поверхности:

.

Рассуждения.

а ) Поместим замкнутую поверхность в электростатическое поле (рис. 11.11). Входящий поток индукции равен -2 Кл, выходящий равен 2 Кл. Суммарный поток через «пустую» замкнутую поверхность равен нулю:

.

б) П оместим внутрь поверхности положительный заряд — источник линий индукции (рис. 11.12). Суммарный поток будет зависеть от мощности источника

, то есть

.

Таким образом, поток вектора электростатической индукции через любую замкнутую поверхность пропорционален заряду внутри этой поверхности.

Д оказательство.

Окружим точечный заряд q сферической поверхностью S радиуса r (рис. 11.13). Ориентируем поверхность вектором нормали . Из симметрии задачи .

По определению, поток вектора индукции

.

В случае точечного заряда

.

Так как, вектор . Поэтому,



• Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Рассмотрим бесконечную плоскость с поверхностной плотностью заряда (рис. 11.14) , где заряд, находящийся на площадке S.

Окружим выбранную площадку S цилиндрической поверхностью. Ориентируем поверхность векторами нормали , , .

По определению, поток индукции

C другой стороны, по теореме Остроградского - Гаусса

.

Сравнивая эти выражения, получаем:

.

• Индукция и напряженность поля плоского конденсатора

Поле плоского конденсатора складывается из полей двух разноименно заряженных плоскостей (рис. 11.15). По принципу суперпозиции, вне конденсатора индукции и напряженности полей вычитаются E=D=0, внутри — удваиваются:

.

• Индукция и напряженность поля равномерно заряженного шара

а) Вне шара. Окружим шар сферической поверхностью S с r > R (R — радиус шара, рис. 11.16). Ориентируем поверхность вектором нормали . Из симметрии задачи .

По определению, поток вектора индукции

.

C другой стороны, по теореме Остроградского – Гаусса

,

где q — заряд шара. Сравнивая эти выражения, получаем:

. Поле вне равномерно заряженного шара совпадает с полем точечного заряда.

б ) Внутри шара. Окружим область шара сферической поверхностью S с r < R (рис. 11.17). Ориентируем поверхность вектором нормали . Из симметрии задачи .По определению, поток вектора индукции

.

C другой стороны, по теореме Остроградского – Гаусса

,

где q — заряд выделенной области шара , где — объем выделенной области, — объемная плотность заряда. Таким образом, . Сравнивая эти выражения, получаем:

.

• Индукция и напряженность поля равномерно заряженной нити

О кружим нить цилиндрической поверхностью S радиуса r длиной l (рис. 11.18). Ориентируем поверхность векторами нормали , , .

.

По определению, поток вектора индукции .

C другой стороны, по теореме Остроградского – Гаусса

,

где q — заряд выделенного участка нити, — линейная плотность заряда нити. Сравнивая эти выражения, получаем: .