16.2. Период и частота свободных колебаний

• 

  В

  

  ывод дифференциального уравнения свободных колебаний

Колебательный контур (рис.16.4) можно рассматривать как участок цепи, содержащей ЭДС самоиндукции. Д ля получения дифференциального уравнения, описывающего изменение заряда конденсатора, воспользуемся законом Ома для участка цепи с ЭДС (2.5):

.

Рассмотрим каждое слагаемое уравнения.

1. Сопротивление колебательного контура считаем равным нулю, поэтому .

2. Из определения электроемкости (1.11): .

3. ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке индуктивности (14.3): . Причем, по закону сохранения электрического заряда сила тока в катушке равна скорости уменьшения заряда на положительной обкладке конденсатора, поэтому: , тогда .

Подставляя в закон Ома, имеем или

.

Получили дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.

• Собственная циклическая частота и период колебаний

Решением этого уравнения является гармоническая функция

, где

Таким образом, мы доказали, что заряд изменяется в контуре по гармоническому закону с собственной циклической частотой . Период связан с циклической частотой формулой , поэтому

— формула Томсона.

• Изменения заряда, напряжения и силы тока

Заряд, напряжение на конденсаторе и сила тока в катушке меняются по гармоническому закону с одинаковой частотой.

Заряд (рис. 16.2, а):

.

Напряжении (рис. 16.2, б):

, где

— амплитуда напряжения, — фаза колебаний заряда и напряжения.

Сила тока (рис. 16.2, в):

, где

— амплитуда силы тока, — фаза колебаний силы тока. За счет явления самоиндукции изменения силы тока отстают по фазе от изменений заряда и напряжения на (рис. 16.2).

16.3. Свободные затухающие колебания

• С вободные затухающие колебания

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением (рис. 16.5). Энергия контура расходуется на нагревание проводника. Амплитуда колебаний уменьшается, колебания затухают.

• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний получаем из закона Ома .

Аналогично (16.2):

,

где — коэффициент затухания, .

Р ешением этого дифференциального уравнения является гармоническая функция, амплитуда которой экспоненциально убывает со временем (рис. 16.6): ,

где — частота затухающих колебаний, меньше собственной частоты гармонических колебаний в контуре без сопротивления.

• Логарифмический декремент затухания:

— величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в e раз.

Другой характеристикой затухания колебательных контуров является добротность контура , которая увеличивается при уменьшении затухания и периода колебаний.

16.4. Вынужденные колебания

• В ынужденные колебания возникают в контуре при подключении последовательно с элементами контура генератора переменного тока (рис. 16.7). Будем считать, что генератор вырабатывает синусоидальные токи

, где

— амплитуда тока, — частота генератора.

Для каждого момента времени можно считать ток постоянным и применять закон Ома. Рассмотрим, как ведет себя напряжение и ток на каждом элементе контура. Для этого воспользуемся вектором амплитуды колебаний.

• 

  Вектор амплитуды колебаний

Гармонические колебания моделируются колебаниями проекции радиус-вектора амплитуды (например, напряжения ) при его вращении с угловой скоростью  (рис. 16.8).

С помощи векторов амплитуд можно складывать колебания одинаковой частоты и направления, но разной амплитуды и фазы (рис. 16.9). Из рисунка видно, что

.

В общем случае амплитуда результирующего колебания будет меняться в пределах

.

Происходит увеличение или уменьшение результирующей амплитуды. Частота колебаний не меняется.

• А ктивное сопротивление в цепи переменного тока (рис.16.10)

Активным называется сопротивление, на котором выделяется теплота. Считаем, что генератор дает в цепи ток . Определим характер изменения напряжения на сопротивлении .

По закону Ома ,

где — амплитуда напряжения на сопротивлении . Таким образом, напряжение и ток на активном сопротивлении меняются в одной фазе (синфазно).

В екторная диаграмма (рис. 16.11)

Вектор амплитуды напряжения совпадает по фазе с вектором амплитуды тока .

• Емкость C в цепи переменного тока (рис. 16.12)

Напряжение на конденсаторе меняется пропорционально заряду конденсатора

.

О пределив зависимость заряда конденсатора , найдем и характер изменения напряжения. Так как , то , то есть . Поскольку ток меняется по закону

.

Таким образом, .

—реактивное сопротивление конденсатора (на таком сопротивлении не выделяется тепло). уменьшается с увеличением емкости и частоты.

В екторная диаграмма (рис. 16.13)

— амплитуда напряжения на конденсаторе отстает по фазе от амплитуда тока на .

• Индуктивность L цепи переменного тока (рис. 16.14)

Определим характер изменения напряжения на индуктивности.

По закону Ома .

;

, где

— реактивное сопротивление катушки (на нем не выделяется тепло). Оно возникает за счет явления самоиндукции, поэтому индуктивное сопротивление растет с увеличением индуктивности и частоты.

В екторная диаграмма (рис. 16.15)

— амплитуда напряжения на индуктивности опережает амплитуду тока на .

• Закон Ома для переменных токов

При последовательном соединении ранее рассмотренных элементов в цепь (рис.16.16) общее напряжение равно сумме падений напряжения на отдельных элементах. Так как отличаются по фазе, то складывать их надо при помощи векторной диаграммы (рис. 16.17):

.

Введем амплитуду реактивной составляющей напряжения:

где — полное реактивное сопротивление.

Из треугольника на рисунке 16.17 по теореме Пифагора получаем закон Ома для переменных токов:



, ,

где — импеданс — полное сопротивление цепи переменному току, — разность фаз колебаний силы тока и напряжения.

• Р езонанс напряжений в колебательном контуре

Рассмотрим, как меняется импеданс и амплитуда тока в зависимости от частоты генератора (рис. 16.18).

1) — постоянный ток — , ,

2) Явление резонанса. При совпадении частоты генератора с собственной частотой колебаний , , напряжение на конденсаторе компенсирует напряжение на индуктивности (резонанс напряжений, рисунке 16.18), поэтому амплитуда тока достигает максимального значения.

3) При .