§ 49.2 Складання поступального і обертального рухів твердого тіла

Розглянемо складний рух твердого тіла, який складається з поступального і обертального навколо деякої осі. Тут можуть зустрітись такі випадки: вектор швидкості поступального руху є: а) перпендикулярним до осі обертання; б) паралельним до осі обертання; в) утворює з віссю обертання довільний кут. Розглянемо окремо кожний з цих випадків.

а) Швидкість поступального руху перпендикулярна до осі обертання

Прикладом такого руху є рух автомобільних коліс, які рухаються поступально разом з автомобілем і одночасно обертаються навколо відповідних осей, до того ж в кожний момент часу швидкість поступального руху перпендикулярна до осі обертання колеса.

Припустимо, що тіло обертається з кутовою швидкістю навколо осі , яка жорстко скріплена з іншим тілом (наприклад, з площиною ), яке рухається поступально зі швидкістю , перпендикулярною до осі (рис. 146). Для визначення результуючого руху на осі візьмемо довільну точку , через яку проведемо осі і , причому вісь проведемо паралельно до вектора . На осі візьмемо точку на відстані

(а)

і визначимо її швидкість. Тіло здійснює складний рух, отже кожна його точка здійснює складний рух, а це означає, що швидкість точки можна обчислити за формулою

. (б)

За переносний рух приймемо поступальний рух твердого тіла, тоді переносна швидкість кожної точки тіла буде дорівнювати , тобто:

. (в)

Рис. 146

За відносний рух приймемо обертання твердого тіла навколо осі , тоді величина відносної швидкості кожної точки тіла буде дорівнювати добутку кутової швидкості на відстань даної точки до осі обертання. Для точки , враховуючи співвідношення (а), отримаємо

. (г)

Вектор відносної швидкості як вектор обертальної швидкості буде перпендикулярним до відповідного радіуса. Для точки і напрямлений в бік обертання, як вказано на рис. 146.

Підставляючи (в) і (г) у формулу (б) і враховуючи, що вектори і напрямлені по одній прямій в протилежні боки, отримаємо

,

тобто абсолютна швидкість точки в даний момент часу дорівнює нулеві.

Якщо через точку паралельно до осі провести вісь і врахувати, що на осі точку вибрано довільно (отже, і точка є довільною точкою осі ), то можна зробити такий висновок: вісь є геометричне місце точок, абсолютні швидкості яких в даний момент часу дорівнюють нулеві, тобто вона є миттєвою віссю абсолютного обертання, а це означає, що результуючий рух твердого тіла в даний момент часу є обертальним.

Таким чином,

при складанні поступального і обертального рухів твердого тіла у випадку, коли швидкість поступального руху перпендикулярна до осі обертання, результуючий рух тіла в кожний момент часу є обертальним навколо миттєвої осі обертання, паралельної до осі обертання складового руху, і знаходиться від неї на відстані d, яка визначається за формулою

. (2.97)

Відрізок відкладається вздовж перпендикуляра до площини, яка проходить через вектори і в бік, звідки поворот вектора до на кут видно проти руху годинникової стрілки.

Позначимо кутову швидкість результуючого (абсолютною) руху і визначимо її. Для цього за формулою

(д)

визначимо абсолютну швидкість точки . Кожний з векторів які входять в рівність (д), легко обчислити:

, адже абсолютний рух, як було тільки що доведено, є обертальним навколо миттєвої осі ;

, бо переносний рух, як було прийнято, є поступальним зі швидкістю ;

, точка знаходиться на осі відносного обертання.

Враховуючи все це, з рівності (д) отримаємо

.

Звідки, враховуючи формулу (а), матимемо

,

кутова швидкість результуючого (абсолютного) руху дорівнює кутовій швидкості складового обертання.

На закінчення звернемо увагу на те, що цей вид руху тіла є не що інше як плоскопаралельний рух, який, як відомо, визначається рухом плоскої фігури в її площині. Саму плоску фігуру отримаємо шляхом перетину тіла площиною, перпендикулярною до осі . Миттєвий центр швидкостей, навколо якого плоска фігура в даний момент часу здійснює обертальний рух, буде знаходитися в точці її перетину з миттєвою віссю ( ) обертання тіла.

б) Швидкість поступального руху паралельна осі обертання

П

Рис. 147

рикладом такого руху є рух свердла свердлильного верстата, рух гайки при закручуванні її на болт, рух гвинта при польоті літака і т.п.

На рис. 147 зображено тіло , яке обертається навколо осі з кутовою швидкістю і одночасно рухається зі швидкістю , причому . Швидкість будь-якої точки , яка, як і все тіло, здійснює складний рух, буде визначатись формулою

. (а)

Прийнявши за переносний рух поступальний рух твердого тіла, а за відносний – його обертання навколо осі , матимемо

; ,

і формула (а) набуває вигляду

. (б)

Таким чином, абсолютна швидкість точки може бути розкладена на дві складові: одна з них паралельна до осі ; інша знаходиться в площині, яка перпендикулярна до осі, до того ж вона перпендикулярна до площини, яка проходить через вісь і точку (рис. 147). Звідси можна зробити висновок, що точки тіла рухаються по бокових поверхнях циліндрів з віссю і радіусом , де – відстань точки до осі , а траєкторією їх є гвинтові лінії.

Отже,

при складанні поступального і обертального рухів твердого тіла у випадку, коли швидкість поступального руху паралельна осі обертання, результуючий (абсолютний) рух тіла є гвинтовим, бо його точки описують гвинтові лінії.

Однієї з основних геометричних характеристик гвинта є його крок.

Кроком гвинта називається відстань, яку проходить точка осі гвинта за один оберт тіла.

Точки осі гвинта рухаються зі швидкістю . Припустивши, що , , отримаємо формулу, яка визначає крок ( ) кінематичного гвинта

. (2.98)

Відношення

(2.99)

називається параметром кінематичного гвинта.

Якщо швидкості і змінні, то, природно, параметри кінематичного гвинта будуть змінними.

в) Швидкість поступального руху утворює довільний кут з віссю обертання

Н

Рис. 148

ехай тіло обертається навколо осі з кутовою швидкістю і одночасно рухається поступально з швидкістю , яка утворює довільний кут з віссю обертання (рис. 148). Для визначення результуючого руху вектор швидкості розкладено на дві складові

,

одна з яких перпендикулярна до осі , причому

,

інша – паралельна до осі .

.

Застосовуючи принцип незалежності рухів і склавши поступальний рух з швидкістю з обертанням навколо осі , отримаємо, згідно з пунктом (а), миттєвий обертальний рух навколо миттєвої осі , яка паралельна до осі з кутовою швидкістю . Математично це можна записати так:

.

Відстань до миттєвої осі обертання можна визначити за формулою (2.97)

.

Тепер, якщо скласти миттєвий обертальний рух навколо осі з поступальним рухом з швидкістю , яка паралельна осі , то, згідно з пунктом б), отримаємо в кожний момент часу гвинтовий рух, тобто (миттєвий гвинтовий рух навколо ).

Крок гвинта в даному випадку буде визначатись формулою

. (2.100)