5. Аксіома паралелограма.
Рівнодійна двох сил, прикладених в одній точці твердого тіла, зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на даних силах (рис. 16).
Складання за правилом паралелограма в математиці називається векторною (геометричною) сумою і записується так:
.
(1.3)
Рис. 16 |
Рис. 17 |
Рівність (1.3) виражає аксіому паралелограма сил, згідно з якою рівнодійна двох сил дорівнює векторній сумі заданих сил. Очевидно, додавання за правилом паралелограма можна замінити додаванням за правилом трикутника (рис. 17).
Величину
рівнодійної можна визначити за теоремою
косинусів. З
(рис. 16) маємо
.
О
скільки
,
,
,
,
отримаємо
.
(1.4)
За формулою (1.4) обчислюють модуль рівнодійної двох сил, яка визначається за правилом паралелограма.
П’ята аксіома має широке практичне використання. По-перше, на основі даної аксіоми дію двох сил, прикладених в одній точці, можна замінити однією силою (рівнодійною). По-друге, на основі даної аксіоми вектор кожної сили можна розкласти по двох заданих напрямах, які проходять через точку прикладання сили.
Шостою аксіомою статики є аксіома про звільнення від в’язей, тобто принцип звільнення від в’язей, який був сформульований в § 5.
На основі аксіоми 5 доведемо теорему (лему) про рівно-вагу трьох сил:
три непаралельні сили, які діють на тверде тіло в одній площині, зрівноважуються тільки в тому випадку, коли лінії їх дії перетинаються в одній точці.
Доведення.
Нехай на тверде тіло в точках
,
,
діють три
непаралельні сили
,
які розміщені в площині рисунка (рис.
18, а, де вказані тільки сили
і
і точки їх прикладання).
Рис. 18
Знаходимо
точку перетину ліній дій сил
і
(точку
)
і перенесемо дані сили в точку
(адже сила – це ковзний вектор). Згідно
з аксіомою 5 знаходимо їх рівнодійну
(рис. 18, б). Таким чином, на тверде тіло
тепер діють тільки дві сили: знайдена
рівнодійна
і сила
,
яка ще не вказана на рисунку. Згідно з
теоремою, яка доводиться, сили повинні
бути зрівноважені, отже (аксіома 1) сили
і
повинні мати спільну лінію дії, тоді
точка прикладання
(точка
)
знаходиться на лінії дії сили
,
а саме сила
діє на тверде тіло, як вказано на рис.
18, в. Таким чином, лінії дії трьох сил
перетинаються в одній точці.
Однак треба відзначити, що теорема про три сили є тільки необхідною умовою зрівноваження трьох сил. Її часто використовують для визначення лінії дії реакції в’язі, напрям якої згідно з класифікацією в’язей невідомий.
Приклад.
Визначити лінію дії реакції циліндричного
шарніра
,
навколо якого може обертатись однорідний
стрижень
вагою
,
що опирається на ребро
(рис.
19, а).
Рис. 19
Стрижень
знаходиться в рівновазі. На нього діють
тільки три сили: 1)
сила ваги
,
яка прикладена в середині стрижня і
напрямлена по вертикалі вниз; 2)
реакція ребра
–
,
яка перпендикулярна до поверхні стрижня;
3)
реакція шарніра
–
,
яка невідома за напрямом. Напрям залежить
від дії прикладених сил, тобто є невідомим.
Але лінію дії
легко визначити за теоремою про три
сили. Для цього знаходимо точку перетину
ліній дій сил
і
– точку
.
У відповідності до доведеної теореми
реакція
буде напрямлена по прямій
,
бо для рівноваги трьох сил необхідно,
щоб лінії їх дії перетинались в одній
точці. В який бік? Це вже інше питання,
на яке поки що відповісти не можемо. Для
цього потрібно знати не тільки необхідну,
а й достатню умову зрівноваження трьох
сил.
Розглянуті аксіоми, а також основні поняття статики дають змогу приступити до розв’язання основних задач статики для найпростішої системи сил – системи збіжних сил.