§ 43.2 Рівняння рівномірного і рівнозмінного обертання

Обертання з постійною кутовою швидкістю називається рівномірним.

Отже, для рівномірного обертання Оскільки за формулою (2.35)

то

Інтегруючи і враховуючи, що в даному випадку є сталою величною, отримуємо

(2.40)

де – початковий кут повороту. Рівняння (2.40) – це рівняння рівномірного обертання тіла навколо нерухомої осі.

Обертання з постійним кутовим пришвидшенням називається рівнозмінним.

Отже, для рівнозмінного обертання З формули (2.36) маємо

тобто:

.

Інтегруючи і маючи на увазі, що отримаємо

(а)

Знаючи, що маємо

Ще раз інтегруючи, знаходимо

(б)

Сталі інтегрування і визначимо з початкових умов. Припустимо, що при кутова швидкість , а кут повороту Тоді з виразів (а) і (б) знайдемо, що Остаточно матимемо

закон зміни алгебраїчної кутової швидкості при рівнозмінному обертанні

(2.41)

закон рівнозмінного обертання тіла навколо нерухомої осі

(2.42)

У формулах (2.40)-(2.41) , , де і – величини кутової швидкості і кутового пришвидшення.

§ 43.3 Швидкість і пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі

Як було сказано вище, траєкторіями точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі, є кола, площини яких перпендикулярні до осі обертання і центри яких лежать на цій осі. Радіуси цих кіл, а це будуть відстані точок до осі обертання, позначають буквою На рис. 101 зображено траєкторією деякої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі.

Т

Рис. 101

ут же зображено (див. також рис. 100)

– слід нерухомої площини;

– слід рухомої площини;

– кут повороту тіла;

– кут, який визначає положення точки відносно рухомої площини

Оскільки відомо траєкторію, по якій рухається точка то для визначення її кінематичних характеристик руху використаємо положення і формули натурального способу задання руху точки.

Як відомо (див. § 40), в натуральному способі задання руху точки положення її на траєкторії визначається дуговою координатою В даному випадку такою дуговою координатою є дуга отже

.

Якщо радіус кола, по якому рухається точка позначити то матимемо

(2.43)

Рівняння (2.43) – це закон руху по траєкторії точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі. В даному рівнянні є функцією часу і в загальному випадку змінюється за законом (2.34), а кут

За формулою (2.19) визначимо величину швидкості точки

,

. (2.44)

Отже,

швидкість точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, за величиною дорівнює добутку кутової швидкості на відстань точки до осі обертання.

Вектор швидкості точки напрямлений по дотичній до траєкторії, в даному випадку до кола, що описується точкою , в бік обертання. Оскільки дотична до кола перпендикулярна до його радіуса, котрий проведений в точку дотику, то вектор швидкості точки буде перпендикулярним до її радіуса обертання ( рис. 101). Зауважимо, що швидкість точки тіла, яке обертається, часто називають обертальною швидкістю, а (2.44) – формула, що визначає величину обертальної швидкості.

За формулами (2.25), (2.22), (2.24), які визначають пришвидшення точки в натуральному способі задання її руху, визначимо пришвидшення точки

Отже,

пришвидшення точки тіла, яке обертається нав-коло нерухомої осі, дорівнює геометричній сумі її нормального і тангенціального пришвидшень

(2.45)

Виразимо складові пришвидшення через кінематичні характеристики обертального руху тіла, тобто через і . Маючи на увазі, що радіус кривизни траєкторії точки при русі її по колу дорівнює радіусу цього кола, з формули нормального пришвидшення , використовуючи формулу (2.44), отримуємо

,

. (2.46)

Нормальне пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку квадрата кутової швидкості на відстань точки до осі обертання.

З формули отримаємо

,

; . (2.47)

Отже,

алгебраїчне значення тангенціального пришвидшен-ня точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку алгебраїчного кутового пришвидшення на відстань точки до осі обертання.

Я

Рис. 102

к відомо, вектор нормального пришвидшення точки на-прямлений по головній нормалі до центра кривизни. Головна нормаль кола проходить через його центр. Отже, вектор нормального пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, напрямлений по радіусу кола до його центра (рис. 102). Вектор тангенціального пришвидшення точки напрямлений по дотичній до траєкторії в бік додатного напряму обертання, якщо і в протилежний бік, якщо . На рис. 102 вектор зображений для випадку, коли

Повне пришвидшення визначається діагоналлю прямокутника, побудованого на тангенціальному і нормальному пришвидшеннях. Його величина вираховується за формулою

. (2.48)

Напрям вектора повного пришвидшення визначається кутом нахилу цього вектора до радіуса. Тангенс цього кута (рис. 102)

(2.49)

З отриманої формули маємо, що кут нахилу до радіуса кола вектора повного пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, не залежить від положення точки, яке визначається її радіусом, і для всіх точок він має одне і те ж значення.

Я

Рис. 103

кщо врахувати, що величина вектора пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, пропорційна відстані до осі обертання (формула 2.48), а кут нахилу його до відповідного радіуса для всіх точок однаковий, то розподіл (епюр) пришвидшень точок тіла, що обертається навколо нерухомої осі, матиме вигляд, зображений на рис. 103.

Формули (2.44)-(2.47) визначають вектор пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі

Примітка. Часто нормальне пришвидшення точок тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, називають доцентровим і позначають (в російській літературі – центро- стремительное ускорение), а тангенціальне пришвидшення називають обертальним пришвидшенням і позначають (в російській літературі – вращательное ускорение). При таких позначеннях формула (2.44) набуває вигляду

(2.49, а)

і читається так:

пришвидшення точок тіла, яке обертається нав-коло нерухомої осі, дорівнює геометричній сумі її доцентрового і обертального пришвидшень.