Иностранные патенты на алгоритм рюкзака Меркла-Хеллмана

Страна	Номер	Дата получения
Бельгия	871039	5 апреля 1979 года
Нидерланды	7810063	10 апреля 1979 года
Великобритания	2006580	2 мая 1979 года
Германия	2843583	10 мая 1979 года
Швеция	7810478	14 мая 1979 года
Франция	2405532	8 июня 1979 года
Германия	2843583	3 января 1982 года
Германия	2857905	15 июля 1982 года
Канада	1128159	20 июля 1982 года
Великобритания	2.006580	18 августа 1982 года
Швейцария	63416114	14 января 1983 года
Италия	1099780	28 сентября 1985 года

2. RSA

Вскоре после алгоритма рюкзака Меркла появился первый полноценный алгоритм с открытым ключом, ко­торый можно использовать для шифрования и цифровых подписей: RSA [1328, 1329]. Из всех предложенных за эти годы алгоритмов с открытыми ключами RSA проще всего понять и реализовать. (Мартин Гарднер (Martin Gardner) опубликовал раннее описание алгоритма в своей колонке "Математические игры" в Scientific American [599].) Он также является самым популярным. Названный в честь трех изобретателей - Рона Ривеста (Ron Rivest), Ади Шамира (Adi Shamir) и Леонарда Эдлмана (Leonard Adleman) - этот алгоритм многие годы проти­востоит интенсивному криптоанализу. Хотя криптоанализ ни доказал, ни опроверг безопасность RSA, он, по сути, обосновывает уровень доверия к алгоритму.

Безопасность RSA основана на трудности разложения на множители больших чисел. Открытый и закрытый ключи являются функциями двух больших (100 - 200 разрядов или даже больше) простых чисел. Предполагает­ся, что восстановление открытого текста по шифротексту и открытому ключу эквивалентно разложению на множители двух больших чисел.

Для генерации двух ключей используются два больших случайных простых числа, р и д. Для максимальной безопасности выбирайте р и q равной длины. Рассчитывается произведение:

n=pq

Затем случайным образом выбирается ключ шифрования е, такой что е и (p-1)(q-1) являются взаимно про­стыми числами. Наконец расширенный алгоритм Эвклида используется для вычисления ключа дешифриров а-ния d, такого что

ed=l(mod(p-1)(q-1))

Другими словами

d=e^-lmod((p-1)(q-1))

Заметим, что d и п также взаимно простые числа. Числа е и п - это открытый ключ, а число d - закрытый. Два простых числа p и q больше не нужны. Они должны быть отброшены, но не должны быть раскрыты.

Для шифрования сообщения т оно сначала разбивается на цифровые блоки, меньшие п (для двоичных дан­ных выбирается самая большая степень числа 2, меньшая и). То есть, если p и q - 100-разрядные простые числа, то п будет содержать около 200 разрядов, и каждый блок сообщения w, должен быть около 200 разрядов в длину. (Если нужно зашифровать фиксированное число блоков, их можно дополнить несколькими нулями cлева, чтобы гарантировать, что блоки всегда будут меньше п. Зашифрованное сообщение с будет состоять из бло­ков с, той же самой длины. Формула шифрования выглядит так

с, = m_i^e mod n

Для расшифровки сообщения возьмите каждый зашифрованный блок с_i и вычислите

m_i = с_i^d mod n

Так как

с_i^d = (m_i^e )^d = m_i^ed = т_i^{K(p-1)(q-1)+1} = m_i m _i ^K(p-1)(q-1)= т,*1 = т_i; все (mod п)

формула восстанавливает сообщение. Это сведено в 17-й.

Табл. 19-2.