Решение для коэффициентов

Алгоритм Эвклида можно использовать и для решения следующих проблем: дан массив из т переменных x₁, x₂,..., х_т, найти массив т коэффициентов, u₁, и₂,..., и_т, таких что

u₁ * x₁+...+ u_m *x_m,= 1

Малая теорема Ферма

Если т - простое число, и а не кратно т, то малая теорема Ферма утверждает

а^m-1 = 1 (mod m)

(Пьер де Ферма (Pierre de Fermat), французский математик, жил с 1601 по 1665 год. Эта теорема не имеет ничего общего с его знаменитой теоремой.)

Функция Эйлера

Существует другой способ вычислить обратное значение по модулю п, но его не всегда возможно использовать. Приведенным множеством остатков mod n называется подмножество полного множества остатков, члены которого взаимно просты с п. Например, приведенное множество остатков mod 12 - это {1, 5, 7, 11}. Если п -простое число, то приведенное множество остатков mod п - это множество всех чисел от 1 до n-1. Для любого п, не равного 1,число 0 никогда не входит в приведенное множество остатков.

Функция Эйлера, которую также называют функцией фи Эйлера и записывают как φ(n), - это количество элементов в приведенном множестве остатков по модулю п. Иными словами, φ(n) - это количество положительных целых чисел, меньших п и взаимно простых с п (для любого п, большего 1). (Леонард Эйлер (Leonhard Euler), швейцарский математик, жил с 1707 по 1783 год.)

Если п - простое число, то φ(n) = n-1. Если п = pq, где р и q -простые числа, то φ(n)= (р - 1)(q - 1). Эти числа появляются в некоторых алгоритмах с открытыми ключами, и вот почему. В соответствии с обобщением Эйлера малой теоремы Ферма, если НОД(а,n) = 1, то

аφ(n) mod n = 1

Теперь легко вычислить а-1 mod n:

x = a^φ(n)-1 mod n

Например, какое число является обратным для 5 по модулю 7? Так как 7 - простое число, φ(7) = 7-1 = 6. Итак, число, обратное к 5 по модулю 7, равно

5^6-1 mod 7 = 5⁵ mod 7 = 3

Эти методы вычисления обратных значений можно расширить для более общей проблемы нахождения х (если НОД(а,n) = 1):

(а*х) mod п = b

Используя обобщение Эйлера, решаем

х =(b* аφ(n)-1)mod n

Используя алгоритм Эвклида, находим

х = b* (a-1 mod n)) mod n

В общем случае для вычисления обратных значений алгоритм Эвклида быстрее, чем обобщение Эйлера, особенно для чисел длиной порядка 500 бит. Если НОД(а,n) ≠ 1, не все потеряно. В этом общем случае (а*х) mod n=b, может иметь или несколько решений, или ни одного.

Китайская теорема об остатках

Если известно разложение числа п на простые сомножители, то для решения полной системы уравнений можно воспользоваться Китайской теоремой об остатках. Основной вариант этой теоремы был открыт в первом веке китайским математиком Сун Цзе.

В общем случае, если разложение числа п на простые сомножители представляет собой р₁*р₂*...*p_t, то система уравнений

(x mod p_i) = а_i, где i = 1, 2,..., t

имеет единственное решение, х, меньшее п. (Обратите внимание, что некоторые простые числа могут появляться несколько раз. Например, р₁ может быть равно р₂.) Другими словами, число (меньшее, чем произведение нескольких простых чисел) однозначно определяется своими остатками от деления на эти простые числа.

Например, возьмем простые числа 3 и 5, и 14 в качестве заданного числа. 14 mod 3 = 2, и 14 mod 5 = 4. Существует единственное число, меньшее 3*5 = 15, с такими остатками: 14. Два остатка однозначно определяют число.

Поэтому для произвольного а < р и b < q (где р и q - простые числа), существует единственное число х, меньшее pq, такое что

х = a (mod p), и х = b (mod q)

Для получения х сначала воспользуемся алгоритмом Эвклида, чтобы найти и, такое что

u*q = 1 (mod p)

Затем вычислим:

х = (((а - b) *u) mod p) * q + b

Вот как выглядит Китайская теорема об остатках на языке С:

/* г - это количество элементов в массивах m and u;

m - это массив (попарно взаимно простых) модулей

и - это массив коэффициентов

возвращает значение п, такое что n == u[k]%m[k] (k=0..r-l) и

n < [m[0]*т[1]*...*т[г-1]

*/

/* Получение функции Эйлера (totient) остается упражнением для читателя. */

int Chinese_remainder (size_t r, int *m, int *u) {

size_t i;

int modulus;

int n;

modulus=l;

for (i=0; i<r; ++i)

modulus*=m[i];

n=0;

for (i=0; i<r; ++i) {

n+=u[i] * modexp(modulus/m[i]*totient(m[i]),m[i]);

n %= modulus;

}

return n; }

Обращение Китайской теоремы об остатках может быть использовано для решения следующей проблемы: если р и q - простые числа, и р меньше q, то существует единственное х, меньшее, чем pq, такое что

а = х (mod p), и b = x (mod q)

Если a ≥ b mod p, то

х = (((а – (b mod p)) * и) mod p) * q + b

Если а < b mod p, то

х = (((а +p - (b mod p))*u) mod p)*q + b