§ 3.3. Движение тела под действием нескольких сил

Как уже упоминалось выше, основной задачей динамики является определение движения тел по заданным силам. От динамики требуется, прежде всего, определить ускорение движущейся точки, а затем методы кинематики, описанные в первой лекции, позволяют рассчитать скорость и найти уравнение движения.

В большинстве случаев при рассмотрении движении тела необходимо учитывать одновременное действие на него нескольких сил. Для решения большинства несложных задач динамики, как правило, необходимо учитывать следующие силы: силу тяжести ( - ускорение свободного падения), силу нормальной реакции опоры (направление – по нормали от опоры), силу трения скольжения (направление – противоположное вектору скорости движущегося тела; , где µ - коэффициент трения скольжения), а также силу упругости , возникающую при растяжении нитей или деформации пружин (направление – от точки крепления вдоль нити или пружины). Ряд простейших примеров движения тела под действием нескольких сил показан на рисунке 3.2.

Рис. 3.2

Для решения задач, сводящихся к нахождению ускорения по заданным силам (или сил по заданному ускорению), необходимо выполнить следующие действия:

1. построить чертеж, на котором схематически показать тело, направление его движения, приложенные к телу силы и, по возможности, направление ускорения тела;

2. выбрать систему координат, причем одна из координатных осей, как правило, направляется параллельно вектору ускорения тела;

3. записать уравнение второго законы Ньютона в общей форме: векторная сумма сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на вектор ускорения;

4. перейти от векторного уравнения к уравнениям в проекциях на координатные оси;

5. решить полученную систему алгебраических (или дифференциальных) уравнений.

Разберем несколько примеров применения данного алгоритма.

Задача 3.1. Тело массой m скользит под действием силы F, направленной под углом α к горизонту, как показано на рисунке 3.2 а. Коэффициент трения скольжения между телом и плоскостью равен µ. Определите 1) ускорение тела а; 2) при каком значении угла α ускорение тела будет максимальным; 3) максимальное ускорение тела а_max.

Решение

Выполнив первые два пункта алгоритма решения задач на движение тела под действием нескольких сил, получим рисунок 3.3.

Рис. 3.3

Согласно второму закону Ньютона векторная сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на вектор его ускорения:

. (3.4)

Заменим все векторы в уравнении (3.4) их проекциями на координатные оси:

Ох: (3.5)

Оу: (3.6)

Из рисунка 3.3 видно, что , ; , ; , ; , ; , . Подставив данные выражения проекций векторов в уравнения (3.5) и (3.6), получим:

(3.7)

. (3.8)

Выразив N из уравнения (3.8) и учитывая, что , находим из (3.7) ускорение тела:

(3.9)

Для ответа на второй вопрос задачи необходимо исследовать найденную зависимость на экстремум, т.е. решить уравнение . Имеем:

 ,

. (3.10)

Полученное значение α соответствует максимуму функции . Убедитесь в этом самостоятельно.

Максимальное значение ускорения тела a_max найдем из выражения (3.9), воспользовавшись формулой приведения и основным тригонометрическим тождеством. Проделайте необходимые выкладки самостоятельно и получите окончательный ответ:

.

Задача 3.2. Брусок массой 4 кг может двигаться только вдоль вертикальных направляющих, расположенные на вертикальной стене. Коэффициент трения бруска о направляющие µ = 0,1. На брусок действует сила , по модулю равная 20 Н и направленная под углом к вертикали (см. рис. 3.2 б). Определите ускорение бруска.

Решение

Прежде чем выполнять чертеж, выясним, в каком направлении будет двигаться тело. Вертикальная составляющая силы имеет величину Н, в то время как величина силы тяжести, действующей на брусок, Н. Поскольку сила трения между бруском и стеной в данной задаче, очевидно, меньше 20 Н, брусок будет скользить вниз. Соответствующий данному случаю чертеж показан на рисунке 3.4.

Согласно второму закону Ньютона

.

Переходим к уравнениям в проекциях на координатные оси, при этом сразу учтем, что :

Ох: ,

Оу: .

Исключив из полученных уравнений N, найдем величину ускорения тела:

Задача 3.3. Брусок соскальзывает с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен µ. Определите ускорение бруска. При каком минимальном угле наклона плоскости α_min, брусок, помещенный на плоскость, начнет по ней скользить?

Решение

Силы, действующие на брусок, векторы скорости и ускорения бруска, а также оптимальные для решения данной задачи координатные оси показаны на рис. 3.5.

Согласно второму закону Ньютона

.

Переходим к уравнениям в проекциях на координатные оси, учитывая, что :

Ох: , Оу: .

Исключив из полученных уравнений N, найдем ускорение бруска:

. (3.11)

Из (3.11) следует, что при уменьшении угла наклона плоскости α величина ускорения бруска a также будет уменьшаться. Следовательно, минимальному углу наклона α_min, при котором брусок будет скользить по плоскости, соответствует . Приравняв правую часть равенства (3.11) к нулю, получим .

Задача 3.4. Через неподвижный блок перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m₁ и m₂, причем m₁ > m₂ (см. рис. 3.6). Считая, что массы нити и блока малы сравнительно с m₁ и m₂ и пренебрегая трением нити о блок, найдите ускорение а грузов.

Решение

Здесь мы имеем дело с ситуацией, когда в движении участвуют два тела. Если предоставить систему грузов самой себе, то груз m₁ начнет опускаться, а груз m₂ – подниматься. Если пренебречь растяжением нити, то ускорения грузов можно считать равными по модулю: . Чтобы найти ускорение грузов, запишем уравнения второго закона Ньютона в проекции на ось Оу для каждого груза в отдельности и решим полученную систему. При этом учтем, что, поскольку масса блока пренебрежимо мала и трение отсутствует, силы натяжения нити, действующие на грузы, можно считать равными: . Имеем:

Исключив из полученных уравнений F_H, найдем модуль ускорения грузов:

.

Лекция 4. Силы в механике