§ 8.2. Примеры вычисления моментов инерции

Из определения момента инерции твердого тела относительно какой-либо оси следует, что момент инерции одной материальной точки массы m, движущейся по окружности радиуса r, можно найти как

; (8.9)

момент инерции системы, состоящей из N материальных точек массами m₁, m₂, …, m_N, вращающихся с одинаковой угловой скоростью вокруг общей оси на расстояниях r₁, r₂, …, r_N от нее, равен

; (8.10)

момент инерции твердого тела

, (8.11)

где r – расстояние от элемента тела объемом dV и массой dm до оси вращения,  - плотность этого элемента.

Кроме того, из определения (8.4) следует, что момент инерции является аддитивной величиной, т.е. момент инерции системы тел относительно какой-либо оси равен сумме моментов инерции всех тел относительно этой же оси.

Формула (8.11) позволяет довольно легко вычислять моменты инерции симметричных тел относительно осей, совпадающих с их осями симметрии. Рассмотрим несколько примеров.

Рис. 8.5

Тонкостенный цилиндр. Найдем момент инерции тонкостенного цилиндра массы m и радиуса R относительно оси , совпадающей с его осью симметрии (см. рис. 8.5). Учтем, что все элементы массы цилиндра dm находятся от оси на одинаковом расстоянии, равном радиусу цилиндра: . Имеем:

. (8.12)

Рис. 8.6

Однородный цилиндр. Пусть имеется сплошной однородный цилиндр с массой m, радиусом R и высотой l (см. рис. 8.6). Плотность материала цилиндра . Разобьем весь однородный цилиндр на коаксиальные тонкостенные цилиндры (т.е. трубки) радиусом r с толщиной стенок dr. Объем такой трубки . Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси найдем по формуле (8.11):

,

. (8.13)

Обратите внимание, что моменты инерции как тонкостенного, так и сплошного цилиндров не зависят от их высоты, а однозначно определяются массой и радиусом.

Рис. 8.7

Тонкостенная сфера. Найдем момент инерции тонкостенной сферы массы m и радиуса R относительно оси вращения , проходящей через ее геометрический центр (см. рис. 8.7). Для этого разобьем сферу на элементарные кольца, как показано на рисунке. Радиус такого кольца , площадь поверхности кольца . Очевидно, что масса элементарного кольца dm относится к массе всей сферы m так же, как его площадь dS относится к площади поверхности сферы , т.е.

.

Согласно формуле (8.12) момент инерции тонкостенного кольца радиуса r и массы dm равен . Проинтегрировав данное выражение, найдем момент инерции сферы (при этом учтем, что ):

,

. (8.14)

Рис. 8.8

Однородный шар. Пусть имеется однородный сплошной шар радиуса R и массы m (см. рис. 8.8). Плотность шара . Для того, чтобы найти момент инерции шара относительно оси вращения , разобьем его на концентрические тонкостенные сферы радиуса r с толщиной стенок dr. Объем такой сферы , ее масса . Момент инерции dI тонкостенной сферы радиуса r и массы dm согласно формуле (8.14) равен

.

Проинтегрировав полученное выражение, найдем момент инерции всего шара:

. (8.15)

Рис. 8.9

Тонкий однородный стержень. Получим выражение для момента инерции однородного тонкого стержня массы m и длины l относительно оси ОО₁, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр (см. рис. 8.9). Поскольку момент инерции является аддитивной величиной, нам достаточно найти момент инерции относительно оси ОО₁ одной из половин стержня и умножить его на два. Разобьем правую половину стержня на участки длиной dr и массой dm, настолько малые, чтобы их можно было считать материальными точками. Из очевидного соотношения найдем . Согласно (8.9) момент инерции материальной точки массы dm, находящейся на расстоянии r от оси вращения равен . Проинтегрировав dI и умножив результат на два, получим момент инерции всего стержня:

,

. (8.16)

Моменты инерции различных тел правильной геометрической формы приведены в таблице 8.1.

Таблица 8.1

тело	ось вращения	момент инерции
тонкостенный цилиндр массы m и радиуса R	совпадает с продольной геометрической осью цилиндра
Тонкое кольцо массы m и радиуса R	совпадает с одним из диаметров кольца
сплошной однородный цилиндр массы m, радиуса R и высоты l	совпадает с продольной геометрической осью цилиндра
	проходит через центр инерции цилиндра перпендикулярно его продольной геометрической оси
тонкостенная сфера массы m и радиуса R	проходит через центр сферы
сплошной однородный шар массы m и радиуса R	проходит через центр шара
однородный тонкий стержень массы m и длины l	перпендикулярна стержню и проходит через его центр
	перпендикулярна стержню и проходит через один из его концов
сплошной однородный прямоугольный параллелепипед массы m с длинами сторон а, b и с	проходит через центр параллелепипеда параллельно ребру длиной с
сплошной однородный конус массы m с радиусом основания R	совпадает с продольной геометрической осью конуса
Однородный сплошной эллипс массы m с полуосями а и b	проходит через геометрический центр эллипса параллельно полуоси а
	проходит через геометрический центр перпендикулярно плоскости эллипса