§ 2.2. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим абсолютно твердое тело произвольной формы, способное вращаться округ оси Оz (см. рис. 2.4). При вращательном движении скорости различных точек тела неодинаковы, поэтому скорость какой-либо одной точки не может служить характеристикой движения всего тела.

Опишем движение произвольной точки тела А. Положение точки А в пространстве будем задавать радиус-вектором . Из рисунка 2.4 видно, что , где - радиус-вектор, проведенный в точку А из центра дуги окружности, являющейся траекторией точки А. За малое время dt вектор поворачивается в плоскости, перпендикулярной оси Оz, на малый угол d. На такой же угол поворачивается за это время и радиус-вектор любой другой точки тела. Следовательно, угол поворота d характеризует перемещение всего вращающегося тела в целом.

Угол поворота d, для которого задана только величина, не несет информации об ориентации оси вращения в пространстве. Для устранения этого недостатка удобно ввести вектор (вектор элементарного поворота тела), численно равный d, направление которого подчиняется правилу буравчика (т.е. направление вектора совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом, как показано на рис. 2.4).

Угловой скоростью тела называется предел, к которому стремится отношение углового перемещения к промежутку времени , за которое это перемещение произошло, при бесконечном уменьшении последнего:

. (2.1)

Поскольку , векторы и всегда будут сонаправленны, иными словами, направление вектора также подчиняется правилу буравчика. Из сонаправленности векторов и следует, что

.¹ (2.2)

Единицей измерения угловой скорости в системе СИ является радиан в секунду (рад/с или с^-1).

Поскольку траекторией точки А является дуга окружности радиуса R, путь ds, пройденный точкой за время dt, можно найти как . Следовательно, величина скорости точки

. (2.3)

Из рисунка 2.4 видно, что , и , причем направление вектора скорости совпадает с направлением векторного произведения ; выше было показано, что , поэтому можно записать

. (2.4)

Подставляя в (2.4) выражение и учитывая, что векторы и коллинеарны (т.е. ), получим:

. (2.5)

Отметим, что за начало координат О, из которого проводят радиус-векторы , можно взять любую точку оси вращения.

Вращение твердого тела с постоянной по величине угловой скоростью называется равномерным. В этом случае для описания движения удобно использовать понятия периода и частоты вращения.

Периодом вращения Т называют промежуток времени, за который тело совершает один полный оборот.

Частотой вращения  называется число оборотов, которое совершает тело за одну секунду. В системе СИ частота измеряется в герцах (1 Гц = 1/с).

Период Т, частота  и угловая скорость тела  связаны между собою очевидными соотношениями (получите их самостоятельно):

. (2.6)

Для описания неравномерного вращения тела используют понятие углового ускорения. Угловым ускорением называют предел отношения изменения угловой скорости за промежуток времени к длительности этого промежутка при бесконечном уменьшении последнего:

. (2.7)

В системе СИ угловое ускорение измеряется в радианах в секунду за секунду (рад/с² или 1/с²).

При вращении тела вокруг неподвижной оси изменение вектора обусловлено только изменением его числового значения. При этом вектор направлен в ту же сторону, что и , при ускоренном движении и противоположно вектору при замедленном движении . Таким образом,

. (2.8)

Рис. 2.5

Найдем связь между тангенциальным , нормальным и полным ускорениями произвольной точки А вращающегося твердого тела, его угловой скоростью и угловым ускорением:

; (2.9)

из рисунка 2.5 видно, что , и , кроме того, направление вектора совпадает с направлением векторного произведения , следовательно

. (2.10)

Вектор нормального ускорения направлен к оси вращения, т.е. в сторону, противоположную . Имеем:

, (2.11)

. (2.12)

Полное ускорение

, (2.13)

. (2.14)

Поставленная в начале данного параграфа цель достигнута - выражения (2.4) и (2.13) позволяют описать движение произвольной точки твердого тела при помощи величин, характеризующих движение тела в целом (угловой скорости и углового ускорения). В заключение отметим, что хотя вращение вокруг неподвижной оси является одной из простейших разновидностей движения твердого тела, методика описания движения, изложенная выше, применима и для более сложных случаев. Например, вращение тела вокруг неподвижной точки в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через центр вращения и называемой мгновенной осью вращения. При этом положение мгновенной оси с течением времени может изменяться. Также следует заметить, что, поскольку вектор угловой скорости подчиняется правилам сложения векторов, его можно представить как геометрическую сумму составляющих вдоль определенных направлений. Проиллюстрируем использование этого приема конкретным примером.

Рис. 2.6 а Рис. 2.6 б

Задача 2.1. Круглый конус с радиусом основания r и высотой h катится без скольжения по поверхности стола, как показано на рис. 2.6 а. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О на уровне точки С – центра основания конуса. Точка С движется с постоянной скоростью v. Найти: модули угловой скорости  и углового ускорения  конуса.

Решение

Угловая скорость конуса может быть представлена как геометрическая сумма угловой скорости вращения вокруг оси и угловой скорости вращения вокруг оси ОС: . Найдем модули векторов и . Точка С движется с постоянной по величине скоростью v по окружности радиусом h, следовательно, . Поскольку конус катится без скольжения, точка А покоится относительно поверхности стола, т.е. . Из рисунка видно, что , следовательно

.

Угловое ускорение конуса

.¹

Таким образом, вектор сонаправлен с и его модуль . Вектор , оставаясь постоянным по величине, вращается вокруг оси с угловой скоростью . Его приращение за время dt равно по модулю (см. рис. 2.6 б). Модуль углового ускорения конуса:

.

Рассмотрим еще два примера определения кинематических характеристик вращающегося твердого тела.

Задача 2.2. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где а и b – положительные постоянные. Найти средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки.

Решение

Определим зависимость величины угловой скорости  тела от времени:

.

В момент остановки тела , т.е. в момент остановки .

Угловое перемещение тела за промежуток времени от t₁ = 0 до равно . Средняя угловая скорость за этот промежуток времени может быть найдена как

.

Модуль изменения угловой скорости тела за промежуток времени от 0 до t₂ равен . Величина среднего углового ускорения тела за этот же промежуток времени:

.

Задача 2.3. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота  по закону , где ₀ и а - положительные постоянные. В момент времени t = 0 угол поворота  = 0. Найти зависимость от времени угла поворота и угловой скорости.

Решение

Угловая скорость , отсюда

  

  

 .

Зависимость угловой скорости от времени:

.

Лекция 3. Законы Ньютона