§ 2.1 Виды движения абсолютно твердого тела

Тело называют абсолютно твердым, если расстояние между двумя любыми его точками можно считать неизменным, т.е. если деформации тела пренебрежимо малы. Для определения положения абсолютно твердого тела в пространстве достаточно задать положения любых трех его точек, не лежащих на одной прямой (иначе говоря, задать положение произвольного недеформирующегося треугольника, жестко связанного с телом, как показано на рисунке 2.1).

Рис. 2.1

Для определения положения одной точки в пространстве необходимо знать три ее координаты. Определение положения трех произвольных точек в пространстве требует задания уже девяти величин (трех троек координат). В недеформируемом треугольнике расстояния между каждой парой вершин являются постоянными и выражаются через их координат. Поэтому девять координат вершин треугольника не являются независимыми, а связаны между собой тремя уравнениями. Таким образом, чтобы определить положение треугольника и связанного с ним абсолютно твердого тела, достаточно задать шесть независимых величин.

Число независимых величин, необходимых для определения положения тела (или системы тел) называется числом степеней свободы. Следовательно, в общем случае абсолютно твердое тело обладает шестью степенями свободы. Движение тела, для описания которого необходимо задать шесть независимых величин, называется свободным движением. Однако, во многих часто встречающихся на практике случаях твердое тело не является вполне свободным, т.е. обладает числом степеней свободы, меньшим шести. Так, если тело закреплено неподвижно в одной точке, вокруг которой оно может вращаться (такая точка называется центром вращения), то из шести необходимых для описания движения тела независимых координат три координаты неподвижной точки оказываются фиксированными. Поэтому такое тело обладает тремя степенями свободы.

Рис. 2.2 Рис. 2.3

Другой важный вид движения твердого тела – это случай, когда какие-либо две точки тела все время остаются неподвижными (например, точки А и В на рис. 2.2). Очевидно, что все точки, лежащие на прямой, соединяющей эти две неподвижные точки, также будут покоиться. Такая прямая называется осью вращения, а само движение твердого тела – вращением вокруг неподвижной оси. При этом из шести независимых координат вершин треугольника оказываются зафиксированными пять (координаты двух вершин, расстояние между которыми также фиксировано), и у тела остается только одна степень свободы, т.е. для определения его положения в пространстве достаточно задать одну координату.

Еще одной разновидностью движения твердого тела является плоское движение, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. В этом случае жесткий треугольник АВС, который задает положение тела, можно выбрать так, чтобы он лежал в одной из параллельных плоскостей (см. рис. 2.1). Тогда для определения положения треугольника достаточно задать положение одной из его сторон (например, АВ). Задать положение отрезка АВ на плоскости мы можем при помощи двух пар координат его концов. Однако, расстояние между точками А и В неизменно, т.е. эти две пары координат связаны одним уравнением. Следовательно, положение отрезка на плоскости задается тремя независимыми координатами, и твердое тело, совершающее плоское движение, обладает тремя степенями свободы.

Самым простым видом движения твердого тела является поступательное движение, когда все его точки за один и тот же промежуток времени совершают одинаковые перемещения. При этом любой отрезок, проведенный в теле, остается параллельным самому себе (см. рис. 2.3). При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, и, определив движение какой-либо одной точки тела, мы определим движение и любой другой его точки. Поэтому для описания поступательного движения твердого тела достаточно использовать методы кинематики материальной точки, рассмотренные в первой лекции. Во всех остальных случаях различные точки твердого тела движутся по-разному, и возникает вопрос, как из описания движения тела в целом получить информацию о движении его отдельных точек. Рассмотрим этот вопрос подробнее на примере описания вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.