§ 11.3. Течение вязких жидкостей

При движении реальной жидкости между ее слоями возникают силы внутреннего трения, которыми мы до сих пор пренебрегали. Вследствие действия этих сил различные слои жидкости в потоке будут двигаться с различной скоростью. Например, при течении жидкости по трубе прилегающий к стенкам трубы слой практически не движется («прилипает» к стенкам), а внутренние слои движутся со скоростями, возрастающими по мере удаления от стенок.

Рис. 11.9

Для того, чтобы выяснить, как распределяются скорости отдельных слоев, и какие при этом действуют силы, рассмотрим плоский слой жидкости, заключенный между двумя горизонтальными пластинами площади S, как показано на рисунке 11.9. Пусть верхняя пластина движется со скоростью v₀, а нижняя покоится. При этом на каждую пластину со стороны жидкости будет действовать сила F, которую можно измерить. Эксперимент показывает, что сила F прямо пропорциональна скорости верхней пластины v₀ и площади S и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами d. Кроме того, эта сила зависит от свойств жидкости. Таким образом, силу F можно записать как

,

где коэффициент пропорциональности  называют коэффициентом вязкости (или динамической вязкостью) данной жидкости. Единицей измерения коэффициента вязкости в СИ является паскаль-секунда (Пас). Коэффициенты вязкости некоторых жидкостей и газов приведены в таблице 11.1. Обратите внимание, что с повышением температуры вязкость жидкостей уменьшается, а вязкость газов – возрастает.

Таблица 11.1. Вязкость жидкостей и газов

Вещество	Коэффициент вязкости, Пас
	t = 0 0C	t = 15 0C	t = 99 0C
Жидкости
Глицерин	4,6	1,5	-
Вода	1,810-3	1,110-3	0,2910-3
Ртуть	1,710-3	1,610-3	1,210-3
Газы
Воздух	17,110-6	18,110-6	2210-6
Водяной пар	910-6	9,710-6	13,110-6
Водород	8,610-6	8,910-6	10,610-6

Рассмотрим распределение скоростей слоев жидкости, показанной на рисунке 11.9. Верхний слой прилипает к верхней пластине и движется вместе с ней со скоростью v₀. Нижний слой прилипает к нижней пластине, и его скорость равна нулю. В промежуточных слоях скорость непрерывно изменяется, т.е. является некоторой функцией координаты z. Пусть толщина какого-либо слоя равна dz, а изменение скорости в пределах этого слоя dv. В рассматриваемом нами случае все слои жидкости находятся в одинаковых условиях, поэтому отношение величины, на которую изменяется скорость, к толщине слоя для всех слоев должно быть одинаковым, т.е. . При стационарном течении каждый слой движется с постоянной скоростью. Следовательно, сумма касательных к направлению движения сил (т.е. сил вязкого трения), действующих на любой слой жидкости, равна нулю. Поэтому на любую горизонтальную площадку площадью S, лежащую на границе любого слоя, со стороны соседнего слоя будет действовать такая же сила, что и на пластины: или

. (11.9)

Найдем распределение скоростей слоев при стационарном течении вязкой жидкости по трубе радиуса R. Мысленно выделим в жидкости коаксиальный с трубой цилиндр длины l и радиуса r (см. рис. 11.10). Согласно формуле (11.9) на боковую поверхность цилиндра площадью действует сила вязкого трения . Скорость потока

Рис. 11.10 Рис. 11.11

в каждой точке постоянна, следовательно, тормозящая движение выделенного цилиндра сила F уравновешивается разностью сил давления на основания цилиндра, т.е. , где - площадь основания цилиндра. Имеем:

.

Проинтегрируем полученное равенство, учитывая, что слой жидкости, прилегающей к стенке трубы, неподвижен, т.е. . Получим:

. (11.10)

Из выражения (11.10) следует, что максимальная скорость течения жидкости будет наблюдаться у оси трубы ( ). Распределение скоростей по сечению трубы показано на рисунке 11.11.

Воспользуемся формулой (11.10) для определения объема V жидкости, проходящей через поперечное сечение трубы за 1 секунду (эта величина называется расходом жидкости). Разобьем поперечное сечение трубы на тонкие кольца радиуса r и шириной dr (см. рисунок 11.12).

Рис. 11.12

Площадь такого кольца . За единицу времени через эту площадь проходит объем жидкости . Объем жидкости, прошедшей через все сечение трубы, можно найти как

.

Эта формула была впервые получена Ж. Пуазейлем¹ и носит его имя. Формула Пуазейля лежит в основе одного из методов экспериментального определения вязкости жидкости.

Силы вязкого трения нарушают распределение давлений в движущейся жидкости, предсказанное уравнением Бернулли. Степень влдияния сил трения на течение жидкости можно оценить при помощи безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса² Re. Для жидкости, текущей по трубе диаметра d число Рейнольдса равно

. (11.11)

Чем больше величина Re, тем ближе жидкость по своим свойствам к идеальной. При помощи формулы (11.11) можно предсказать характер течения жидкости в трубе: при течение ламинарное, при течение нестабильное – возможен переход от ламинарного течения к турбулентному и наоборот, при течение турбулентное.