§ 11.2. Элементы аэрогидродинамики

Аэрогидродинамика изучает законы движения жидкостей и газов. Совокупность частиц движущейся жидкости называется потоком. При этом жидкость считается сплошной средой, непрерывно распределенной в занятой ею области пространства. Основным методом описания движения жидкости в аэрогидродинамике является метод Эйлера¹, заключающийся в определении зависимости вектора скорости течения жидкости в различных точках потока от координат этих точек (x, y, z) и времени t, т.е. в задании функции .

Течение жидкости называется стационарным, если скорость жидкости в каждой точке потока остается постоянной, иными словами, если не зависит от времени и является функцией только координат: . Если поток представляет собой совокупность слоев, перемещающихся друг относительно друга без перемешивания, течение называется ламинарным. Если же различные слои жидкости перемешиваются между собой, течение называется турбулентным или вихревым.

Для наглядности движение жидкости принято изображать при помощи линий тока, которые проводятся таким образом, чтобы касательные к ним во всех точках совпадали с направлениями скоростей жидкости в этих точках. Линии тока можно сделать видимыми, выпуская в жидкость тонкие струйки густой краски. Характерный пример линий тока, полученных таким методом, показан на рис. 11.3.

Рис. 11.3

Из рисунка 11.3 видно, что линии тока дают представление не только о направлении скорости жидкости, но и о ее величине. Густота линий тока оказывается наибольшей в тех областях потока, где площадь его поперечного сечения минимальна и величина скорости максимальна (сечение ).

При стационарном течении жидкости поверхность, образованная линиями тока, представляет собой как бы непроницаемую трубку, называемую трубкой тока. Ни одна из частиц жидкости, находящихся внутри трубки тока, не сможет выйти за ее пределы, и ни одна из частиц, находящихся снаружи, не сможет в нее войти, поскольку скорости частиц жидкости вблизи поверхности трубки направлены по касательной к ней.

Рис. 11.4

Рассмотрим трубку тока, площади и поперечных сечений которой достаточно малы, чтобы скорости и частиц жидкости во всех точках соответствующих сечений можно было бы считать одинаковыми (см. рис. 11.4). Если течение стационарное, то масса жидкости, заключенной в участке трубки тока между сечениями 1 и 2, не зависит от времени. Следовательно, масса жидкости , входящая в данный участок трубки за некоторое время t через сечение 1, равна массе жидкости , выходящей из него через сечение 2 за это же время. Полагая, что плотность жидкости остается постоянной величиной (т.е. считая жидкость несжимаемой), получим: , отсюда

. (11.4)

Уравнение (11.4) называется уравнением неразрывности.

Законы, описывающие течение реальной жидкости, усложняются вследствие необходимости учитывать вязкое (внутреннее) трение между отдельными слоями потока. Однако в некоторых случаях внутреннее трение невелико, и им можно пренебречь. Жидкость, в которой нет внутреннего трения (т.е. жидкость с нулевой вязкостью) называется идеальной. Например, можно пренебречь вязкостью воды, текущей по достаточно широким каналам и трубам. Вязкостью газов можно пренебрегать в большинстве случаев.

Рис. 11.5

Рассмотрим в некоторый момент времени t часть стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости, заключенной между сечениями 1 и 2 узкой трубки тока, показанной на рисунке 11.5. За время dt рассматриваемый объем жидкости переместится вдоль потока и будет заключаться между сечениями и . Изменение dЕ механической энергии жидкости, складывающееся из изменения ее кинетической энергии dЕ_к и потенциальной энергии dЕ_р, равно работе А сил, действующих на выделенный объем со стороны остальной жидкости. Работа сил давления, приложенных к боковой поверхности трубки тока, равна нулю, т.к. эти силы направлены перпендикулярно направлению перемещения жидкости. Следовательно, , где - работа силы , действующей на поперечное сечение 1, - работа силы , действующей на поперечное сечение 2 (р₁ и р₂ – давления в сечениях 1 и 2, v₁ и v₂ - скорости течения жидкости в этих сечениях). Поскольку течение жидкости стационарное, то в объеме, заключенном между сечениями и 2, изменений не происходит, и энергия данного объема жидкости не изменяется. По сути все изменение сводится к тому, что часть жидкости массой , которая первоначально находилась между сечениями 1 и , как бы оказалась перенесенной в новое положение между сечениями 2 и . Следовательно, изменения кинетической и потенциальной энергий жидкости за время dt равны, соответственно,

и

где h₁ и h₂ – высоты, отсчитанные от некоторого нулевого уровня, на которых находятся сечения 1 и 2. Учитывая, что , получим:

,

,

. (11.5)

Сечения 1 и 2 были выбраны произвольно, поэтому уравнение (11.5) можно переписать в следующем виде:

. (11.6)

Уравнение (11.6) называется уравнением Бернулли¹.

В случае горизонтального потока, когда , уравнение Бернулли упрощается:

. (11.7)

Величину р в уравнении (11.7) принято называть статическим давлением, - динамическим давлением, а - полным давлением.

а б

Рис. 11.6

Из уравнения (11.7) следует, что давление жидкости р будет тем меньше, чем больше ее скорость. Следовательно, при течении жидкости по горизонтальной трубе переменного сечения давление будет меньше там, где меньше площадь сечения. В справедливости данного вывода легко убедиться при помощи опыта, показанного на рисунке 11.6 а. Если в различных сечениях 1, 2, 3 трубы установить перпендикулярно к направлению потока манометрические трубки, то уровень воды в трубках установится в соответствии с уравнением Бернулли. В узком сечении 2, где скорость потока больше, уровень воды в трубке ниже, т.е. давление меньше.

Можно изменить данный опыт, как показано на рис. 11.6 б. В правом открытом конце трубы, по которой идет поток воздуха, давление равно атмосферному. Поэтому в узкой части трубы, где скорость потока больше, давление будет ниже атмосферного. Это явление используется при конструировании различных насосов и разбрызгивателей.

Для измерения статического давления в потоке жидкости можно использовать трубку, показанную на рисунке 11.7 а. Колено АВ трубки располагают параллельно потоку, а колено ВС – вертикально. Верхний конец трубки оставляют открытым, передний конец трубки А закрыт, а в боковой поверхности сделано небольшое отверстие О.

Рис. 11.7

Согласно уравнению (11.6) статическое давление р в точке О будет равно , где р_а – атмосферное давдение,  - плотность жидкости, h₁ – высота, на которую поднимается жидкость в колене ВС.

Для измерения полного давления жидкости р₀ используют манометрическую трубку с открытым концом, показанную на рисунке 11.7 б: . Из уравнения Бернулли (11.7) следует, что , следовательно, высота, на которую поднимется жидкость в этом случае, будет больше: . Зная разность высот подъема жидкости в трубках, показанных на рисунке 11.7, можно определить динамическое давление жидкости и ее скорость:

.

Прибор, измеряющий скорость потока жидкости или газа по описанному выше принципу, называется трубкой Пито¹.

Задача 11.2. Открытый сосуд заполнен идеальной жидкостью. В боковой стенке сосуда на глубине H имеется отверстие, площадь которого много меньше площади поперечного сечения сосуда. С какой скоростью вода выливается из отверстия?

Решение

Запишем уравнение Бернулли (11.5) для двух сечений потока: 1 – на уровне поверхности жидкости в сосуде и 2 – на выходе из отверстия (см. рис. 11.8):

Рис. 11.8

,

где h₁ и h₂ – высоты, на которых находятся сечения 1 и 2. Статические давления жидкости в обоих сечениях равны атмосферному, т.е. , и уравнение Бернулли примет вид

.

Из уравнения неразрывности (11.4) следует, что . Согласно условию задачи , а значит , и слагаемым можно пренебречь. Имеем:

. (11.8)

Интересно отметить, что скорость v₂, с которой вода вытекает из отверстия, равна скорости тела, упавшего с высоты Н. Выражение (11.8) называется формулой Торричелли¹.