§ 11.1. Элементы аэрогидростатики

До сих пор мы занимались механикой материальных точек и твердых тел. Данная же лекция посвящена основным положениям аэрогидромеханики – раздела физики, в котором рассматриваются законы движения и равновесия жидкостей и газов, а также их взаимодействие с твердыми телами.

Жидкости и газы обладают рядом общих свойств, принципиально отличающихся от свойств твердых тел. Прежде всего это присущая жидкостям и газам текучесть, т.е. малая сопротивляемость деформации сдвига. Если скорость сдвига стремится к нулю, то силы, возникающие в жидкости или газе в результате этой деформации, также стремятся к нулю. Как следствие, сколь угодном малые внешние силы могут привести к изменению формы жидкого или газообразного тела, поэтому жидкости и газы принимают форму тех сосудов, в которых находятся. Жидкости и газы ведут себя как упругие тела только в отношении изменения объема. Причем фактически у них наблюдается лишь один вид упругой деформации – всестороннее сжатие. Многие законы механики для жидкостей и газов формулируются одинаково и описываются одними и теми же уравнениями. В этой связи в дальнейшем мы будем для краткости говорить только о жидкостях, но все изложенное останется справедливым и для газов.

Поскольку при деформации сдвига в жидкости не возникает упругих сил, в ней не будет и тангенциального напряжения. Поэтому сила, действующая со стороны одного элемента жидкости на другой, всегда направлена по нормали к площадке, на которую она действует. Для всякой площадки в жидкости существует только нормальное напряжение, которое называют давлением в жидкости р. Давление в данной точки жидкости можно определить как

, (11.1)

где F – величина силы, действующей на площадку площади S. В СИ единицей измерения давления является паскаль (1 Па = 1 Н/м²). Давление в данной точке жидкости не зависит от ориентации площадки в пространстве (закон Паскаля).

Давление в данной точке жидкости зависит от ее деформации, т.е. от объемного сжатия. Эксперименты показывают, что жидкости практически во всех случаях можно считать несжимаемыми, т.е. пренебрегать уменьшением их объема вследствие внешнего воздействия¹. Иными словами, можно полагать, что плотность жидкости не зависит от давления. В дальнейшем мы будем по умолчанию считать жидкость несжимаемой.

Рис. 11.1

Найдем давление в статичной (неподвижной) жидкости плотности  на глубине h. Мысленно выделим в объеме жидкости элементарный цилиндр с площадью основания dS, одно основание которого находится на поверхности, а другое на глубине h (см. рис. 11.1). Обозначим давление на поверхности жидкости p₀. Жидкость в объеме выделенного цилиндра находится в равновесии. Следовательно, равнодействующая сил, приложенных к цилиндру, равна нулю. В проекции на ось Оу это условие можно записать как

,

где , , масса жидкости в цилиндре . Имеем:

,

. (11.2)

Таким образом, давление в покоящейся несжимаемой жидкости линейно возрастает с глубиной. Кроме того, можно утверждать, что во всех точках жидкости, лежащих в одной горизонтальной плоскости (т.е. на одной глубине), давление одно и то же.

Рис. 11.2

Опыт показывает, что на любое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила (или сила Архимеда¹) . Поместим в жидкость плотности  тело произвольной формы объема V (см. рис. 11.2). Давление жидкости на каждый элемент поверхности погруженного тела нормально к этому элементу. Чем ниже расположен элемент поверхности, тем больше давление, вследствие чего результирующая всех сил, действующих на отдельные элементы поверхности тела, направлена вверх. Это и есть сила Архимеда . Мысленно удалим тело и заполним объем, который оно занимало, жидкостью. На эту жидкость будет действовать такая же выталкивающая сила , какая ранее действовала на тело. Поскольку жидкость, заместившая тело, находится в равновесии, то и , где - масса жидкости в объеме, равном объему погруженного тела.

Мы получили закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх, и равная по величине весу вытесненной телом жидкости:

. (11.3)

Сила Архимеда приложена к центру тяжести вытесненного объема жидкости.

Задача 11.1. При полном погружении тела в жидкость его вес уменьшился в три раза. Чему равна плотность тела, если плотность жидкости 800 кг/м³.

Решение

Весом тела Р называется сила, с которой тело действует на горизонтальную опору. Согласно третьему закону Ньютона вес тела равен по величине силе нормальной реакции опоры N. Вес тела на воздухе . Вес тела, погруженного в жидкость, уменьшается на величину, равную силе Архимеда: .

Обозначим объем тела V, плотность жидкости _ж, плотность тела _т. По условию задачи , т.е.

;

(кг/м³).