§ 10.3. Элементы релятивистской динамики

В 1905 году на основе глубокого анализа всего объема накопившегося на тот момент экспериментального и теоретического материала А.Эйнштейн¹ сформулировал два постулата специальной теории относительности², составляющих ныне основу всей современной физики.

Первым постулатом является принцип относительности, представляющий собой обобщение классического принципа относительности Галилея: все физические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета; все законы природы и уравнения, их описывающие, не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Иными словами, все инерциальные системы отсчета эквивалентны.

Второй постулат: скорость света в вакууме не зависит от движения источника и приемника света и одинакова во всех направлениях, т.е. одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Из принципа относительности Эйнштейна следует, в частности, что основное уравнение динамики материальной точки должно быть инвариантным относительно преобразований Лоренца. Однако, если, как это принято в классической механике, считать массу тела абсолютной величиной, вид этого уравнения в результате преобразований изменяется. Эйнштейн показал, что основное уравнения динамики будет неизменным, в том случае, если масса тела m является относительной величиной, зависящей от скорости движения тела v в данной системе отсчета по закону

, (10.11)

где m₀ – масса покоя, т.е. масса тела в системе отсчета, относительно которой оно покоится. Таким образом, Эйнштейн сформулировал основной закон релятивистской динамики материальной точки (и движущегося поступательно твердого тела):

. (10.12)

Обратите внимание, что импульс материальной точки в релятивистской механике по-прежнему определяется как , где под m понимается релятивистская масса, найденная по формуле (10.11).

Анализ условий, при которых закон сохранения энергии будет инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца, привел Эйнштейна к эпохальному открытию взаимосвязи массы и энергии. По Эйнштейну релятивистская масса тела m и его полная энергия E связаны соотношением

. (10.13)

Иначе говоря, масса может превращаться в энергию, а энергия – в массу. Это неожиданное открытие было впоследствии подтверждено экспериментально. Наиболее наглядно превращение массы в энергию происходит при аннигиляции элементарных частиц (аннигиляцией называется взаимодействие вещества с антивеществом). Например, в результате реакции между электроном e^- и его античастицей позитроном e⁺ обе частицы исчезают, но возникает электромагнитное излучение в форме двух одинаковых -квантов:

,

причем энергия каждого -кванта равна , где m_e – масса электрона. Возможен и обратный процесс – превращение энергии излучения в частицы, обладающие массой покоя. Так, -квант в определенных условиях исчезает, порождая пару электрон-позитрон:

.

Согласно теории Эйнштейна любое тело, обладающее массой, обладает и энергией. Если тело в состоянии покоя имеет массу покоя m₀, то у него имеется энергия покоя E₀:

. (10.14)

Полную энергию тела Е можно найти как сумму его энергии покоя и кинетической энергии Е_k:

или . (10.15)

Из формул (10.11) и (10.13) следует, что ни одно тело, обладающее отличной от нуля массой покоя, не может двигаться со скоростью, равной или превышающей скорость света в вакууме с, поскольку в этом случае подкоренное выражение в формуле (10.11) стало бы нулевым или отрицательным. Таким образом, скорость с является предельной скоростью, с которой могут перемещаться материальные тела или информационные сигналы в нашей Вселенной.

В заключение приведем полезное соотношение, связывающее релятивистский импульс и полную энергию (постарайтесь вывести его самостоятельно):

. (10.16)

Задача 10.3. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его кинетическая энергия была в четыре раза больше энергии покоя?

Решение

Согласно условию задачи .

Используя формулы (10.11 – 10.15), получим:

;

(м/с).

Задача 10.4. С какой скоростью v движется микрочастица, если ее релятивистский импульс равен р, а полная энергия Е?

Решение

Релятивистский импульс и полную энергию микрочастицы можно записать как и , где m – релятивистская масса. Поделив первое равенство на второе, получим:

.

Лекция 11. Элементы механики жидкостей и газов