§ 10.2. Преобразования Лоренца и основные следствия из них

Более 200 лет принцип относительности и преобразования Галилея считались незыблемыми постулатами. Однако к концу XIX века накопился ряд фактов, необъяснимых с позиций классической физики¹. В первую очередь это были результаты экспериментов А. Майкельсона и Э. Морли² по точному измерению скорости распространения света. В 1887 Майкельсон и Морли первыми показали, что скорость света в вакууме с не зависит от скорости его источника и приемника, а является абсолютной величиной (с  310⁸ м/с), не изменяющейся при переходе из одной инерциальной системы в другую. Таким образом, скорость света не подчиняется классическому закону преобразования скоростей (10.3), что ставит под сомнение справедливость преобразований Галилея (10.2), прямым следствием которых этот закон является.

В XIX веке помимо механики происходило бурное развитие и других областей физики. В частности, в 1860-е годы Дж. Максвеллом³ была создана теория электромагнитного поля. Возник вопрос: можно ли распространить принцип относительности Галилея на электромагнитные явления? Попытки найти ответ привели к противоречию. С одной стороны, в результате преобразований Галилея вид уравнений Максвелла существенно изменялся. С другой стороны, эксперименты показали, что свойства электромагнитного поля, описываемые этими уравнениями, одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Единственным разумным способом объяснить возникшее противоречие было предположить, что уравнения Максвелла все же не должны изменяться при преобразованиях координат, а значит сами преобразования (10.2) неверны!

В 1904 г. Х. Лоренц² нашел преобразования координат и времени, не изменяющие вид уравнений Максвелла:

, , , . (10.5)

Вначале формулы (10.5), названные преобразованиями Лоренца, многими исследователями рассматривались лишь как искусственный математический прием, призванный обеспечить инвариантность уравнений Максвелла. Однако, оказалось, что из этих преобразований можно вывести ряд неожиданных, даже парадоксальных, следствий, которые тем не менее подтверждаются экспериментами. В результате физики пришли к выводу, что именно преобразования (10.5), а не классические преобразования (10.2) верно описывают переход от одной инерциальной системы отсчета к другой. Рассмотрим несколько основных следствий преобразований Лоренца.

Релятивистский закон преобразования скоростей

Вновь рассмотрим движение материальной точки в двух инерциальных системах отсчета S и , показанных на рис. 10.1. Найдем связь между проекциями скоростей точки в этих системах. Из преобразований (10.5) следует, что

, , , .

Используя эти выражения, получим:

,

,

.

Формулы

, , (10.6)

представляют собой релятивистский закон преобразования скоростей. В простейшем случае, когда скорость материальной точки направлена вдоль оси Ох, т.е. когда v_x = v, v_y = v_z = 0, закон преобразования скоростей (10.6) существенно упрощается и принимает вид

. (10.7)

Релятивистский закон преобразования скоростей согласуется с экспериментально установленным фактом постоянства скорости света во всех инерциальных системах отсчета. Убедимся в этом. Пусть в системе S световой луч движется вдоль оси Ох со скоростью v = c. Тогда, согласно (10.7), скорость луча в системе равна

.

Следует отметить что преобразования Лоренца не отменяют, а расширяют преобразования Галилея. Легко увидеть, что при малых по сравнению с с скоростях v и V формулы (10.5) и (10.7) превращаются в (10.2) и (10.3), соответственно. Иными словами, преобразования Галилея являются предельным случаем преобразований Лоренца для и .

Рис. 10.2

Сокращение длины

Пусть стержень АВ, ориентированный вдоль оси , покоится в системе отсчета и вместе с ней движется со скоростью в положительном направлении оси Ох системы отсчета S, как показано на рисунке 10.2. Очевидно, что длину покоящегося стержня l₀ (также называемую длиной покоя и собственной длиной), можно найти как . Найдем длину l стержня в системе отсчета S. Для этого в один момент времени (по часам системы S) определим координаты концов стержня х_А и х_В. Используя преобразования (10.5), получим:

,

. (10.8)

Таким образом, длина движущегося стержня будет меньше его длины покоя. Уменьшение размеров движущихся тел получило название лоренцевского сокращения. Обратите внимание, что сокращаются лишь продольные размеры тел, т.е. размеры вдоль направления движения. Поперечные размеры тел остаются неизменными.

Задача 10.1. Куб с длиной ребра а движется со скоростью , причем вектор перпендикулярен двум его противоположным граням. Определите объем V движущегося куба.

Решение

Из условия задачи следует, что рассматриваемое тело будет кубом в системе отсчета, относительно которой оно покоится. В системе отсчета, относительно которой тело движется, благодаря лоренцевскому сокращению оно будет представлять собой прямоугольный параллелепипед (см. рис. 10.3).

Рис. 10.3

Сократятся только те ребра куба, которые ориентированы параллельно вектору скорости . Согласно (10.8) их новая длина будет равна . Длины ребер, ориентированных перпендикулярно , останутся равными а.

Объем движущегося куба .

Замедление времени

Выше мы убедились, что пространственные промежутки, например размеры тел, зависят от выбора системы отсчета. Теперь сравним промежутки времени, прошедшие между одними и теми же событиями в системах отсчета S и . Представьте себе часы, покоящиеся в системе отсчета и движущиеся вместе с этой системой в положительном направлении оси Ох системы отсчета S со скоростью . Пусть часы отсчитают промежуток времени (время, отсчитанное по часам, покоящимся в данной системе отсчета называется собственным временем этой системы). Найдем длительность промежутка времени , прошедшего в системе S, пока часы отсчитывали промежуток ₀. Учтем, что в системе часы находились в одной точке, т.е. , а в системе S – перемещались из точки с координатой x₁ в точку с координатой x₂. Используя преобразования Лоренца (10.5), получим:

;

;

. (10.9)

Таким образом, , т.е. ход времени в движущейся системе отсчета замедляется. Этот кажущийся парадоксальным вывод однозначно подтвердили результаты экспериментов, проведенных с нестабильными элементарными частицами мюонами. Мюоны возникают в результате определенных ядерных реакций и, если их скорость невелика по сравнению с с, в среднем через мкс распадаются, превращаясь в другие частицы. Однако, если мюоны разогнать в ускорителе до скоростей, сравнимых со скоростью света в вакууме, их время жизни  значительно возрастает, причем найденная экспериментально зависимость совпадает с зависимостью (10.9). По «собственным часам» мюоны в любом случае живут 2 мкс, однако соответствующий промежуток времени, отсчитанный по лабораторным часам, зависит от скорости, с которой мюоны движутся относительно лаборатории.

Задача 10.2. Собственное время жизни некоторой нестабильной элементарной частицы составляет 10 нс. Какой путь l пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где время ее жизни равно нс.

Решение

Используя формулу (10.9), найдем скорость частицы v в лабораторной системе отсчета: . Путь, пройденный частицей за время  в лабораторной системе отсчета, равен

(м).

Пространственно-временной интервал

Итак, мы показали, что не только пространственные, но и временные промежутки являются относительными величинами, зависящими от выбора системы отсчета. Однако, помимо скорости распространения света в вакууме, существует еще одна величина, инвариантная относительно преобразований Лоренца – пространственно-временной интервал s. Пространственно-временным интервалом (или просто интервалом) s между двумя событиями 1 и 2 называется величина, квадрат которой равен

, (10.10)

где - промежуток времени между событиями,

- расстояние между точками пространства, в которых эти события произошли.

Используя преобразования (10.5), легко убедиться, что интервал остается неизменным при переходе от системы отсчета S к :

.

Взаимосвязь пространственных координат и времени в преобразованиях Лоренца и инвариантность интервала по отношению к этим преобразованиям позволяют придти к следующему выводу: пространство и время, рассматриваемые по отдельности, не являются абсолютными и независимыми, а образуют единый четырехмерный пространственно-временной континуум. Интервал играет роль «расстояния» между точками (т.е. событиями) этого четырехмерного континуума.