§ 10.1. Принцип относительности Галилея

В основе классической (или ньютоновской) механики, изложению основ которой были посвящены девять предыдущих лекций, лежат два основных положения: 1) в инерциальных системах отсчета ускорения тел вызываются действующими на них силами¹; 2) силы есть результат действия на ускоряемое тело других тел. В этой связи возникает вопрос: равнозначны ли с точки зрения законов механики различные инерциальные системы отсчета? Иными словами, будут ли силы и сообщаемые этими силами телам ускорения одинаковы во всех инерциальных системах отсчета?

Первым обоснованный ответ на этот вопрос еще в начале XVII века дал Галилео Галилей. Ответ был: «да». Согласно Галилею все законы механики, описывающие изменение состояния физических систем, одинаковы во всех инерциальных системах отсчета². Это утверждение получило название принципа относительности Галилея. Свой вывод Галилей обосновывал следующим экспериментом. Пусть человек находится в лишенном иллюминаторов трюме большого корабля. Тогда никакими способами – ни наблюдениями за поведением насекомых или рыбок в аквариуме, ни измерениями траектории и дальности полета тел, брошенных с одинаковой скоростью в различных направлениях – он не сможет выяснить, покоится ли корабль относительно берега или движется прямолинейно и равномерно.

Рассмотрим движение материальной точки массы m в двух различных системах отсчета S и . Пусть обе системы являются инерциальными, и вторая система движется с постоянной скоростью относительно первой. Для простоты примем, что координатные оси , , параллельны осям Ox, Oy, Oz, и что в момент времени t = 0 начало координат совпадало с началом координат О. Кроме того, будем считать, что скорость параллельна оси Ох. Пусть в некоторый момент времени t материальная точка находится в положении А (см. рис. 10.1). Положение точки в системе S определяется радиус-вектором , в системе - радиус-вектором .

Рис. 10.1

Из рисунка 10.1 видно, что , где . Сделав кажущееся очевидным предположение, что время течет одинаково в обеих системах отсчета, т.е. , можно записать

, . (10.1)

В проекциях на координатные оси равенство (10.1) будут иметь вид

, , , . (10.2)

Формулы (10.2), позволяющие перейти от описания движения материальной точки в одной инерциальной системе отсчета к другой, называются преобразованиями Галилея.

Продифференцируем первое из равенств (10.1) по времени, учитывая, что . Получим: , или

, (10.3)

где и - скорости материальной точки в системах S и , соответственно. Формула (10.3) представляет собой классический закон преобразования скоростей и остается верной даже в том случае, когда .

Полагая , продифференцируем равенство (10.3) по времени. Имеем: , или

. (10.4)

Мы показали, что ускорение материальной точки одинаково в обеих системах отсчета. Сделав еще одно как бы очевидно предположение, что масса тела также не зависит от выбора системы отсчета, т.е. , из равенства (10.4) получим , а значит и . Таким образом, вид уравнения второго закона Ньютона в результате перехода от системы S к системе при помощи преобразований (10.2) не изменился: было , стало . Действуя по аналогичной схеме, можно показать, что в результате преобразований Галилея также остается неизменным вид остальных основных законов и уравнений ньютоновской механики. Говоря иными словами, законы и уравнения классической механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.