§ 9.2. Момент импульса

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела по форме аналогичен основному закону динамики материальной точки , только в роли силы выступает момент силы, в роли массы – момент инерции, в роли ускорения – угловое ускорение. Выражение для кинетической энергии вращающегося твердого тела также аналогично кинетической энергии материальной точки , только в качестве скорости берется угловая скорость. В этой связи возникает вопрос: какая величина, характеризующая вращение твердого тела, будет аналогом импульса материальной точки? Такой величиной является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса L_i отдельной частицы твердого тела массой называется произведение расстояния от частицы до оси вращения на величину ее импульса , т.е. .

Момент импульса L твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса всех его частиц: .

Учитывая, что , момент импульса тела можно записать как

,

. (9.4)

Продифференцировав равенство (9.4) по времени, получим:

,

, (9.5)

где М – суммарный момент сил, действующих на тело. Уравнение (9.5) по аналогии с уравнением называют основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела.

И з уравнения (9.5) следует закон сохранения момента импульса твердого тела: момент импульса твердого тела относительно какой-либо оси остается неизменным, если суммарный момент действующих на тело сил относительной этой оси равен нулю:

.

Рис. 9.2

Одной из самых наглядных демонстраций действия закона сохранения импульса является опыт со скамьей Жуковского¹, представляющей собой скамейку, которая может с очень малым трением вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 9.2). Человек, стоящий на скамейке и вращающийся вместе с ней, держит в вытянутых руках гантели. Затем человек прижимает руки с гантелями к груди, и скорость вращения заметно увеличивается. Далее, разводя руки в стороны, человек вновь уменьшает скорость своего вращения. Дело в том, что чем дальше гантели от оси вращения, тем больше момент инерции I системы человек + скамейка. Поскольку произведение I должно оставаться неизменным, то, увеличивая I, человек уменьшает угловую скорость вращения , и наоборот.

Действие закона сохранения момента импульса можно наглядно наблюдать и во время соревнований по фигурному катанию. Фигурист, желая сообщить своему телу быстрое вращение, во время начального толчка отводит в стороны руки и ногу, а затем прижимает руки к телу и соединяет ноги, тем самым резко уменьшая свой момент инерции и увеличивая угловую скорость. В дальнейшем фигурист часто вновь разводит руки и прогибается. Его момент инерции при этом увеличивается, а угловая скорость – уменьшается.

Рис. 9.3

На сохранении момента импульса основан принцип действия гироскопа. Гироскопом называют быстро вращающееся твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Простейшим гироскопом является детский волчок, быстро вращающийся вокруг своей оси. У гироскопов, применяемых в технике, свободный поворот оси можно обеспечить, закрепив ее в рамках (кольцах) 1, 2 так называемого карданова подвеса (рис. 9.3), позволяющего оси АВ занять любое положение в пространстве. Такой гироскоп имеет три степени свободы: он может совершать три независимых поворота вокруг осей АВ, DE и GK, пересекающихся в центре подвеса О, который остается неподвижным по отношению к основанию подвеса 3. Если центр инерции гироскопа совпадает с центром подвеса О, то гироскоп называется уравновешенным.

Основное свойство уравновешенного гироскопа заключается в том, что его ось стремится устойчиво сохранять в мировом пространстве приданное ей первоначальное направление. Если эта ось вначале направлена на какую-нибудь звезду, то при любых перемещениях основания прибора и случайных толчках она будет продолжать указывать на эту звезду, меняя свою ориентировку относительно земных осей. Впервые это свойство гироскопа использовал французский ученый Л. Фуко¹ в 1852 г. для экспериментального доказательства вращения Земли вокруг ее оси. Отсюда и само название «гироскоп», что в переводе означает «наблюдать вращение».

На свойствах гироскопа основаны разнообразные устройства и приборы, широко применяемые в современной технике для автоматического управления движением самолетов, морских судов, ракет, торпед и других объектов, для определения горизонта или географического меридиана, для измерения поступательных или угловых скоростей движущихся объектов, а также во многих других целях.

Рис. 9.4

Задача 9.3. По гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массы m, закрепленное на нити, другой конец которой втягивают в отверстие О (см. рис. 9.4) с постоянной скоростью. Найти силу натяжения нити в зависимости от расстояния r до отверстия, если при угловая скорость нити была равна ₀.

Решение

Сумма моментов сил, действующих на тело, относительно оси равна нулю, следовательно, его момент импульса относительно данной оси остается неизменным, т.е.

,

где - скорость тела, когда оно находится на расстоянии r от отверстия, - скорость на расстоянии r₀. Имеем:

.

Нормальное ускорение тела, находящегося на расстоянии r от отверстия, равно по величине . Силу натяжения нити найдем из уравнения второго закона Ньютона, записанного в проекции на радиальное направление:

.

Закон сохранения момента импульса можно обобщить на систему тел. Под моментом импульса системы тел относительно какой-либо оси подразумевается сумма моментов импульса относительно данной оси всех тел, входящих в систему. Момент импульса системы тел относительно оси остается неизменным, если сумма моментов всех внешних сил, действующих на все тела системы, относительно данной оси равна нулю.

Рис. 9.5

Задача 9.4. Стержень длины l и массы m₁ может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня (см. рис. 9.5). В нижний конец стержня ударяет пуля массы m₂ ( ), летящая в горизонтальном направлении со скоростью v, и застревает в стержне. Определить: 1) с какой скоростью v₁ начнет двигаться нижний конец стержня сразу после удара пули; 2) на какую максимальную высоту поднимется нижний конец стержня.

Решение

Суммарный момент внешних сил, действующих не стержень и пулю (силы тяжести и силы реакции оси вращения) относительно оси О непосредственно перед ударом и сразу после него равен нулю. Следовательно, момент импульса системы пуля + стержень в результате удара не изменяется, т.е.

,

где  - угловая скорость стержня с застрявшей пулей сразу после удара, I – момент инерции системы относительно оси О после удара, равный сумме моментов инерции стержня и пули: . Учитывая, что , вторым слагаемым можно пренебречь и считать, что . Таким образом, , откуда . После попадания пули нижний конец стержня начнет двигаться по дуге окружности радиуса l со скоростью

.

Максимальную высоту подъема h нижнего конца стержня найдем при помощи закона сохранения энергии. Приравняем кинетическую энергию стержня с застрявшей пулей непосредственно после удара к потенциальной энергии в момент максимального отклонения стержня от вертикали. Учтем, что , где h_c - максимальная высота подъема центра инерции стержня. Пренебрегая массой пули по сравнению с массой стержня, получим:

,

.

Рис. 9.6

Задача 9.5. Платформа, представляющая собой однородный диск массы m₁ и радиуса R, вращается без трения вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ₁. На краю платформы стоит человек массы m₂. Поперечные размеры человека пренебрежимо малы по сравнению с R. Определить: 1) с какой угловой скоростью ₂ будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр (см. рис. 9.6); 2) какую работу совершит при этом человек.

Решение

Момент импульса системы платформа + человек сохраняется, т.е.

,

где - момент инерции системы относительно оси , в начале, когда человек стоял на краю платформы, - момент инерции системы после того, как человек перешел в центр платформы. Таким образом,

.

В результате перехода человека с края платформы в ее центр кинетическая энергия системы возрастает за счет совершенной человеком работы А. Имеем:

.

В заключение приведем таблицу аналогий между основными величинами и уравнениями, характеризующими движение материальной точки и вращательное движение твердого тела.

Таблица 9.1

движение материальной точки	вращение твердого тела
Масса m	Момент инерции I
Сила	Момент силы М
Перемещение	Угол поворота 
Скорость	Угловая скорость 
Ускорение	Угловое ускорение 
Импульс	Момент импульса
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия
Элементарная работа	Элементарная работа
Мощность	Мощность
Основное уравнение динамики или	Основное уравнение динамики или

Лекция 10. Основы релятивистской механики