§ 8.3. Теорема Штейнера

В таблице 8.1 приведены моменты инерции различных тел относительно осей, проходящих через их центры инерции. В случае, когда ось вращения не проходит через центр инерции тела, для нахождения момента инерции применяют теорему Штейнера¹.

Рис. 8.10 Рис. 8.11

Теорема Штейнера: момент инерции I тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси , проходящей через центр инерции тела С параллельно , и произведения массы m тела на квадрат расстояния d между этими осями (см. рис. 8.10):

. (8.17)

Доказательство

Рассмотрим твердое тело как совокупность материальных точек массой m_i, находящихся на расстояниях r_i и от осей и , соответственно. Тогда , . Проведем ось Ох так, чтобы она пересекала оси и и была перпендикулярна к ним (см. рис. 8.11). По теореме косинусов . Из рисунка видно, что , где х_i и - координаты i-й точки тела и его центра инерции С. Таким образом,

.

Согласно (6.6) , следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Рис. 8.12 Рис. 8.13

Задача 8.3. Определить момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через один из его концов.

Решение

По теореме Штейнера момент инерции стержня относительно оси (см. рис. 8.12) равен , где - момент инерции стержня относительно параллельной оси , проходящей через центр инерции стержня С, - расстояние между осями. Таким образом,

.

Задача 8.4. Физический маятник представляет собой однородный тонкий стержень длины l и массы m с прикрепленным к одному из его концов однородным шаром массы m и радиуса . Определите момент инерции маятника относительно оси , перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, как показано на рисунке 8.13.

Решение

Поскольку момент инерции является аддитивной величиной, момент инерции маятника , где - момент инерции стержня, I₂ – момент инерции шара. Найдем I₂ по теореме Штейнера: , где - момент инерции шара относительно оси , проходящей параллельно оси через центр инерции шара С; - расстояние между осями. Таким образом, и .

Лекция 9. Динамика твердого тела (окончание)

§ 9.1. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Найдем кинетическую энергию твердого тела, вращающегося с угловой скоростью  вокруг неподвижной оси. Для этого рассмотрим тело как совокупность малых частиц массой . Пусть v_i и r_i - соответственно скорость и расстояние до оси вращения i-й частицы тела. Кинетическая энергия тела Е_к равна сумме кинетических энергий всех образующих его частиц: . Учтем, что . Имеем:

.

Согласно определению (8.4), сумма представляет собой момент инерции тела I. Таким образом,

. (9.1)

В общем случае произвольное движение твердого тела можно представить как совокупность двух движений – поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела и вращения с угловой скоростью  вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. При этом кинетическая энергия тела будет равна

, (9.2)

где I – момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения.

Изменение кинетической энергии вращающегося твердого тела связано с суммарной работой всех действующих на тело внешних сил: . Мощность действующих на вращающееся твердое тело сил . Учитывая, что , где М - суммарный вращающий момент сил, приложенных к телу, получим:

. (9.3)

Рис. 9.1

Задача 9.1. Сплошной однородный шар массы m скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высоты h, образующей угол  с горизонтом. Определить 1) скорость центра инерции v_c при сходе шара с наклонной плоскости; 2) ускорение а_с центра инерции шара. В начальный момент времени шар покоился. Работой сил трения пренебречь.

Решение

1) Для нахождения скорости центра инерции шара при сходе с наклонной плоскости воспользуемся законом сохранения механической энергии , где - потенциальная энергия шара в верхней точке наклонной плоскости, - его кинетическая энергия в нижней точке. Шар не скользит, следовательно, мгновенная скорость точки А шара, касающейся плоскости, равна нулю. Поскольку точка А одновременно участвует в поступательном движении со скоростью и вращательном со скоростью ( , где R – радиус шара), то , откуда и . Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр, равен . Таким образом,

;

.

2) Найдем зависимость квадрата скорости центра инерции шара от пройденного пути S. Поскольку пройдя путь S шар снижается на (см. рис. 9.1), то Продифференцируем обе части полученного уравнения по времени:

.

Учитывая, что и , получим:

.

Задача 9.2. Маховик вращается по закону , где А, В и С – постоянные. Момент инерции маховика I. Найти зависимость от времени вращающего момента М и мощности Р сил, действующих на маховик.

Решение

Угловая скорость маховика ; угловое ускорение . Согласно основному закону динамики вращательного движения (8.5) вращающий момент .

Мощность Р найдем по формуле (9.3): .