§ 8.1. Основной закон динамики вращения твердого тела

вокруг неподвижной оси

Для описания поступательного движения твердого тела необходимо знать начальные координаты и начальную скорость какой-либо его точки и равнодействующую приложенных к телу сил как функцию времени. Однако для того, чтобы найти уравнение вращательного движения твердого тела, знания действующих на него сил недостаточно. Убедимся в этом на простом примере.

Рис. 8.1

Рассмотрим вал радиуса r с закрепленным на нем диском радиуса R, способный вращаться без трения вокруг неподвижной оси О, под действием сил и (см. рис. 8.1). Эксперимент показывает, что при вал с диском вращаются против часовой стрелки, а равновесие системы наблюдается при выполнении условия . Для того, чтобы предсказать, в каком направлении будет вращаться тело, необходимо знать не только величины и направления сил, но и расстояния от линий, вдоль которых действуют силы, до оси вращения.

Кратчайшее расстояние между осью вращения тела и линией действия силы называется плечом силы.

Физическая величина, численно равная произведению модуля силы на плечо, называется моментом (или вращающим моментом) М силы относительно оси. Единицей измерения момента силы в СИ является ньютон, умноженный на метр (Нм). Момент силы, вращающей тело против часовой стрелки, принято считать положительным, по часовой стрелке – отрицательным.

На рисунке 8.1 момент силы равен , момент силы равен . Таким образом, твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, будет находиться в равновесии при условии, что сумма моментов приложенных к нему сил равна нулю.

Рис. 8.2

Задача 8.1. Однородная балка массой m покоится в горизонтальном положении на двух опорах, одна из которых расположена точно под ее левым концом, а другая – на расстоянии, равном четверти длины балки от другого конца (см. рис. 8.2). С какой силой балка давит на каждую из опор?

Решение

По третьему закону Ньютона силы и , с которыми балка давит на опоры, равны по модулю и противоположны по направлению силам реакций опор и , т.е. и . Найдем эти силы.

Балка находится в состоянии покоя, следовательно, ее ускорение равно нулю, и, по второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на балку, также равна нулю:

.

Перейдем к проекциям на ось Оу:

.

Балка находится в равновесии, значит сумма моментов действующих на нее сил относительно любой оси вращения равна нулю. Проведем мысленно ось вращения перпендикулярно плоскости рисунка 8.2 через левую опору (через точку О). Плечо и момент силы относительно данной оси равны нулю: , момент силы равен , момент силы тяжести . Условие равновесия балки:

, ,

отсюда ; .

Рассмотрим теперь вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, когда сумма моментов приложенных к нему сил не равна нулю. Опыт показывает, что в этом случае тело вращается либо равноускоренно либо разнозамедленно, т.е. величина его углового ускорения  отлична от нуля.

Рис. 8.3

Установим связь между угловым ускорением тела и суммарным моментом М действующих на него сил. С этой целью мысленно разобьем все тело на N малых частиц, каждую из которых можно считать материальной точкой. Рассмотрим движение i-й частицы. Обозначим ее массу , расстояние от частицы до оси вращения , сумму сил, действующих на частицу со стороны других частиц этого же тела, (т.е. внутренних сил) и сумму сил, действующих на частицу со стороны других тел, (т.е. сумму внешних сил) . Спроецируем эти силы на направление движения частицы (см. рис. 8.3). Соответствующие проекции обозначим и . Основное уравнение динамики материальной точки (3.3) для i-й частицы тела в проекции на направление движения можно записать как

. (8.1)

Очевидно, что в любой момент времени угловые скорости  всех частиц, образующих твердое тело, будут одинаковы. Подставим в уравнение (8.1) и умножим обе его части на . Имеем:

, (8.2)

где - угловое ускорение тела. Напишем равенства, аналогичные (8.2), для всех частиц тела и сложим их друг с другом. Получим:

. (8.3)

Первая сумма в правой части уравнения (8.3) равна нулю, поскольку каждая внутренняя сила имеет равную по величине и противоположную по направлению силу, приложенную к другой частице тела, причем, поскольку эти силы действуют вдоль одной прямой, их плечи одинаковы. Второе слагаемое в правой части (8.3) является суммарным вращающим моментом М всех внешних сил, действующих на тело: . Величина

(8.4)

называется моментом инерции тела относительно данной оси вращения. В системе единиц СИ момент инерции измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр (кгм²). Таким образом, мы можем переписать уравнение (8.3) в виде

(8.5)

и сказать, что момент внешних сил, вращающих твердое тело относительно данной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение тела. Это и есть основной закон динамики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рис. 8.4

Задача 8.2. Через блок в виде сплошного однородного диска массы m перекинута нерастяжимая невесомая нить, к концам которой подвешены грузы массами m₁ и m₂ ( ), как показано на рисунке 8.4. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением в оси блока пренебречь.

Решение

Для решения задачи применим основные законы поступательного и вращательного движения твердого тела.

Запишем для каждого груза в отдельности уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Оу. Учтем, что величины ускорений грузов одинаковы: . Получим:

, (8.6)

. (8.7)

На блок действуют вращающие моменты сил натяжения нитей и . По третьему закону Ньютона , . Поскольку второй груз опускается, блок вращается по часовой стрелке. Величина суммарного момента действующих на него сил , где r – радиус блока. Момент инерции сплошного диска относительно оси, проходящей через его центр и совпадающей с осью диска, равен (см. § 8.2). Подставив выражения для M и I в уравнение основного закона динамики вращательного движения (8.5) и учитывая, что ускорение грузов a и угловое ускорение блока  связаны между собой как , после элементарных преобразований получим

. (8.8)

Выразим и из уравнений (8.6) и (8.7), соответственно, и подставим в (8.8). Имеем:

,

.