§1.2. Кинематика материальной точки

Кинематика (от греческого kinematos – движение) – раздел механики, посвященный изучению и описанию механического движения тел без учета их масс и действующих на них сил.

Механическим движением называется изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Обратите особое внимание на слова «относительно других тел». Дело в том, что механическое движение является относительным. Говорить, что тело движется (или покоится) имеет смысл только в том случае, когда известно, относительно какого тела это движение рассматривается. Например, в данный момент относительно Земли Вы покоитесь, но относительно Солнца Вы движетесь, причем с весьма значительной скоростью.¹

Тело, относительно которого рассматривается движение других тел, называется телом отсчета. Тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени образуют систему отсчета (СО). Система отсчета, в которой телом отсчета является Земля, называется геоцентрической, а СО, связанная с Солнцем,  гелиоцентрической.

Материальная точка – тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Как правило, тело можно считать материальной точкой при рассмотрении его взаимодействия с другими телами, расстояние до которых много больше размеров данного тела. Например, при изучении движения Земли вокруг Солнца ее можно считать материальной точкой, поскольку среднее расстояние от центра Земли до центра Солнца (1,4910¹¹ м) почти в 25000 раз превосходит средний радиус Земли (6,3710⁶ м). В то же время, рассматривая движение какого-либо объекта по поверхности Земли, ее, разумеется, нельзя считать точкой.

Любой предмет, который нельзя считать материальной точкой, можно представить как систему материальных точек, поэтому описание движения материальной точки является первым шагом на пути к описанию движения произвольного объекта. Описать движение материальной точки – значит указать ее положение в пространстве относительно выбранного тела отсчета в каждый момент времени. Для этого необходимо задать радиус-вектор точки как функцию времени¹ (см. рис. 1.1). Зависимость называется уравнением движения материальной точки. Положение точки можно задать и ее координатами (х,у,z). Зависимости x(t), y(t), z(t) также называются уравнениями движения. Векторное и скалярные уравнения движения связаны между собой:

, (1.1)

где - единичные векторы в направлении координатных осей Ох, Оу и Оz, соответственно (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Дадим еще несколько определений основных кинематических величин:

траектория – воображаемая линия, вдоль которой движется материальная точка (см. рис. 1.2);

пройденный путь s – расстояние, пройденное материальной точкой вдоль траектории за некоторый промежуток времени (t); единицей измерения пройденного пути в международной системе единиц измерения СИ является метр (м);

перемещение ( ) – вектор, соединяющий начальную и конечную точки участка траектории, пройденного материальной точкой за некоторый промежуток времени; из рисунка 1.2 видно, что

, (1.2)

где и - радиус-векторы начальной и конечной точек участка траектории;

среднепутевая скорость (v_ср) – отношение пути, пройденного материальной точкой за некоторый промежуток времени, в длительности этого промежутка:

; (1.3)

в СИ скорость измеряется в метрах в секунду (м/м);

средняя скорость ( ) – векторная величина, равная отношению перемещения точки за некоторый промежуток времени к длительности этого промежутка:

; (1.4)

скорость (или мгновенная скорость) ( ) – векторная величина, равная пределу отношения перемещения точки за некоторый промежуток времени к длительности этого промежутка при бесконечном уменьшении последнего:

. (1.5)

Используя выражения (1.1) и (1.5), найдем связь между проекциями вектора скорости материальной точки на координатные оси и ее координатами:

.

Следовательно, зависимости проекций скорости от времени можно получить, продифференцировав соответствующие уравнения движения¹:

. (1.6)

Величину скорости (модуль вектора скорости) v можно найти как

, (1.7)

либо как

. (1.8)

Рис. 1.3

Выведем формулу (1.8). Из рисунка 1.3 видно, что при малом перемещении вектор совпадает по направлению с касательной к траектории. При t0 модуль вектора перемещения r  s, где s – длина участка траектории, концы которого соединяет вектор . Имеем:

.

Поскольку t > 0, вектор мгновенной скорости сонаправлен с малым вектором перемещения , следовательно, скорость материальной точки всегда направлена по касательной к траектории, как показано на рисунке 1.3.

Движение материальной точки с постоянной по величине скоростью называется равномерным движением.

Для описания неравномерного движения используются понятия ускорения и среднего ускорения.

Среднее ускорение – векторная величина, равная отношению изменения скорости материальной точки за некоторый промежуток времени t к длительности этого промежутка:

; (1.9)

единицей измерения ускорения в СИ служит метр в секунду за секунду (м/с²);

ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная величина, равная пределу отношения изменения скорости материальной точки за некоторый промежуток времени к длительности этого промежутка при бесконечном уменьшении последнего:

. (1.10)

По аналогии с (1.6) и (1.7) можно записать выражения для проекций и модуля вектора ускорения:

, (1.11)

.(1.12)

Таким образом, знание зависимости позволяет полностью описать движение материальной точки, определить вид ее траектории, а также найти величину и направлении скорости и ускорения точки в каждый момент времени. Проиллюстрируем это утверждение конкретным примером.

Задача 1.1. Материальная точка движется по плоскости (х,у). Уравнение движения точки имеет вид , где  и  - положительные постоянные. Найти: 1) уравнение траектории точки y(x); 2) зависимости величин скорости точки v и ускорения а от времени; 3) зависимость угла  между векторами скорости и ускорения точки от времени.

Решение

Согласно (1.1) скалярные уравнения движения материальной точки имею вид и . Исключив из этих уравнений время, получим уравнение траектории:

, .

Продифференцировав зависимости x(t) и y(t) по времени, находим:

, ; .

Теперь найдем проекции и модуль ускорения точки:

; ; .

Угол между векторами и находим через их скалярное произведение:

 .

Помимо прямой задачи – определения траектории, скорости и ускорения материальной точки по уравнению движения, кинематика позволяет решить и задачу обратную – найти уравнение движения по известной зависимости и начальным условиям. Начальными условиями в данном случае являются значения скорости и радиус-вектора в момент времени t = 0. Необходимость уметь решать такую обратную задачу обусловлена тем, что законы динамики (см. лекцию 3) позволяют получить именно зависимость ускорения движущейся материальной точки от времени.

Решить обратную задачу кинематики можно путем интегрирования. Вначале найдем зависимость скорости материальной точки от времени. По определению

 .

Проинтегрируем обе части последнего равенства, учитывая, что моменту времени t=0 соответствует скорость , а моменту времени t – скорость . Получим:

, ,

. (1.13)

Окончательный вид второго слагаемого в равенстве (1.13) зависит от конкретной функции . Интегрируя найденную посредством (1.13) зависимость , получим искомое уравнение движения:

 ; ,

. (1.14)

Интегрируя выражения (1.11) и (1.6), можно найти зависимости от времени проекций скорости и координат материальной точки:

; (1.15)

. (1.16)

Рассмотрим простейший пример использования полученных формул.

Задача 1.2. Материальная точка движется с постоянным ускорением . В момент времени t = 0 радиус-вектор и скорость точки были равны и , соответственно. Найти зависимости и .

Решение

Для нахождения воспользуемся формулой (1.13) и, поскольку , вынесем ускорение из под знака интеграла:

.

Подставим полученную зависимость в (1.14) и найдем уравнение движения точки:

.