§ 7.4. Изменение и сохранение механической энергии
Механической энергией тела Е называется сумма его кинетической и потенциальной энергий:
. (7.17)
Изменение
механической энергии тела равно суммарной
работе действующих на него неконсервативных
сил. Докажем
это утверждение. Пусть на тело действуют
несколько сил, в числе которых имеются
и консервативные и неконсервативные.
Согласно теореме о кинетической энергии
(7.7) изменение кинетической энергии тела
равно суммарной работе всех
приложенных к нему сил:
,
где
и
- суммарные работы консервативных и
неконсервативных сил. Изменение
потенциальной энергии тела по определению
равно
.
Изменение механической энергии тела
,
, (7.18)
что и требовалось доказать.
Из равенства (7.18) вытекает закон сохранения механической энергии тела: механическая энергия тела остается неизменной, если на него действуют только консервативные силы, или если суммарная работа действующих на тело неконсервативных сил равна нулю. Закон сохранения механической энергии позволяет упростить решение многих задач динамики по сравнению с методами, основанными на применении законов Ньютона.
Задача 7.4. Определить вторую космическую скорость vII ракеты, запущенной с поверхности Земли.
Решение
Второй космической называется минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно удалилось с поверхности Земли на бесконечное расстояние (см. § 4.3). При расчете vII сопротивление воздуха не учитывается, и предполагается, что на тело действует только сила тяготения к Земле.
Сила тяготения
является консервативной, следовательно,
механическая энергия ракеты сохраняется:
(здесь индексом 1 обозначены кинетическая
и потенциальная энергии ракеты на
поверхности Земли в момент старта,
индексом 2 – на бесконечном удалении
от Земли). Обозначим массу ракеты m,
массу Земли – М.
В момент старта ракета находится на
расстоянии от центра Земли, равном ее
радиусу R.
Согласно формуле (7.13)
.
Кинетическая энергия в момент старта
.
На бесконечно большом удалении от Земли
потенциальная энергия ракеты
.
Поскольку vII
– минимальная
скорость, при которой ракета может
удалиться на бесконечность, ее кинетическая
энергия на бесконечности также должна
быть равна нулю:
.
Имеем:
.
В § 4. было показано,
что
,
где g0
– ускорение свободного падения на
поверхности Земли. С учетом этого
.
Подставив в последнюю формулу значения
м/с2
и
м, получим
км/с.
Законы изменения и сохранения механической энергии можно сформулировать не только для отдельно взятого тела, но и для системы тел. Механической энергией системы тел называется сумма механических энергий всех тел, входящих в систему. Система тел называется консервативной, если на все тела, входящие в систему, действуют только консервативные силы.
Изменение механической энергии системы тел равной суммарной работе всех неконсервативных сил, действующих на все тела системы. Из этого утверждения следует закон сохранения механической энергии системы тел: механическая энергия консервативной системы тел остается неизменной. Механическая энергия неконсервативной системы тел остается неизменной, если суммарная работа всех неконсервативных сил, действующих на все тела системы, равна нулю.
Рис. 7.6
Задача 7.5. Два шара массами m1 и m2 скользят по одной прямой навстречу друг другу со скоростями v1 и v2, как показано на рисунке 7.6. Определите скорости u1 и u2 шаров после их абсолютно упругого центрального соударения.1
Решение
Для определенности будем считать, что в результате соударения шары поменяют направления движения на противоположные (см. рис. 7.6). Сумма проекций импульсов шаров на ось Ох и сумма их кинетических энергий не изменятся в результате удара. Запишем соответствующие равенства:
Решим полученную систему уравнений, для чего сгруппируем в каждом уравнении слагаемые по массе:
Поделим второе уравнение на первое:
.
Из последнего
равенства выражаем
и подставляем это выражение в первое
уравнение исходной системы. Имеем:
,
;
.
Интересно отметить,
что в случае когда массы шаров равны, в
результате абсолютно упругого центрального
соударения они просто «обмениваются
скоростями». Действительно, при
получаем
и
.
Механическая энергия является лишь одним из многих видов энергии. Под энергией подразумевается некая универсальная физическая величина, характеризующая все виды движения и взаимодействия между телами и переходы движения из одной формы в другую. В тех случаях, когда механическая энергия системы не сохраняется, энергия не исчезает, а переходит в другую форму. Например, при неупругом соударении двух тел их суммарная кинетическая энергия уменьшается за счет превращения части ее в энергию теплового движения молекул, т.е. тела при ударе нагреваются.
В заключение приведем общий закон сохранения энергии, сформулированный в середине XIX века Ю. Майером1 и Г. Гельмгольцем2, и являющийся одним из наиболее важных постулатов, лежащих в основании всей современной физической теории.
Закон сохранения энергии: в замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела другому, но ее общее количество остается неизменным.
Лекция 8. Динамика твердого тела