§ 7.2. Кинетическая энергия

Выше уже упоминалось, что работа, совершаемая силой при перемещении тела, не является функцией, т.е. ее нельзя однозначно определить, зная только характеристики движения тела – его радиус-вектор и скорость. Однако существует функция, знание которой повзоляет без интегрирования находить суммарную работу всех сил, действующих на тело (т.е. работу равнодействующей силы). Эта функция называется кинетической энергией тела. Кинетическая энергия Е_к материальной точки (или поступательно движущегося твердого тела) массы m, движущейся со скоростью v,  скалярная величина, численно равная

. (7.6)

Очевидно, что единицей измерения кинетической энергии в системе СИ является кгм²/с², т.е. джоуль.

Теорема о кинетической энергии: суммарная работа А всех сил, действующих на материальную точку равна изменению ее кинетической энергии Е_к.

Доказательство

Пусть имеется материальная точка массы m, к которой приложены силы , равнодействующую которых обозначим . Под действием сил материальная точка перемещается по некоторой траектории L. Обозначим скорость точки в начале траектории , в конце - . Суммарная работа всех сил А равна сумме работ А₁, А₂, ..., А_N, совершаемых каждой силой по отдельности. Имеем:

Таким образом,

, (7.7)

что и требовалось доказать.

Теорему о кинетической энергии можно сформулировать и в дифференциальной форме: элементарная работа всех сил равна бесконечно малому приращению кинетической энергии:

. (7.8)

Задача 7.3. Частица массы m движется по окружности радиуса R с нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону , где с – положительная постоянная. Найти: 1) зависимость от времени мощности всех сил, действующих на тело P(t); 2) среднее значение этой мощности за первые t секунд движения.

Решение

Вначале найдем зависимость кинетической энергии частицы от времени:

.

Находим мощность всех сил, действующих на частицу, как функцию времени:

.

Работу всех сил за первые t секунд движения можно найти как изменение кинетической энергии частицы за это время:

.

Средняя мощность всех сил Р_ср за этот промежуток времени равна

.

§ 7.3. Потенциальная энергия

Среди различных видов сил встречаются такие, работа которых при перемещении тела не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положениями тела. Эти силы называются консервативными или потенциальными.

Рис. 7.4

Одной из консервативных сил является сила гравитационного притяжения. Убедимся в этом. Пусть материальная точка массы m перемещается из точки 1 в точку 2 по траектории L в гравитационном поле, созданном неподвижной материальной точкой массы М (см. рис. 7.4). Согласно закону всемирного тяготения (4.2), на материальную точку массы m будет действовать сила тяготения . Элементарная работа этой силы . Скалярное произведение , где - проекция бесконечно малого перемещения на направление радиус-вектора . Из рисунка 7.4 видно, что эта проекция равна , т.е. приращению длины вектора . Следовательно, и . Работа силы тяготения по перемещению материальной точки из пункта 1 в пункт 2 по траектории L равна

,

. (7.8)

Таким образом, работа гравитационной силы определяется взаимным расположением взаимодействующих тел в начальной и конечной точках траектории и не зависит от ее формы.

Рис. 7.5

Сила тяжести , действующая на тело в однородном поле тяготения вблизи поверхности Земли, также является консервативной. Докажем это утверждение. Рассмотрим перемещение материальной точки массы m из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории L в вертикальном поле однородной силы тяжести (см. рис. 7.5). Силу тяжести можно записать как , где - единичный вектор в направлении оси Оz. Элементарная работа силы тяжести

.

Работа силы тяжести на всем пути из точки 1 в точку 2:

,

где z₁ и z₂ – координаты начальной и конечной точек траектории. Если начало координат находится на поверхности Земли, координата z равна высоте h, на которой тело находится над Землей, и работу силы тяжести можно записать как

. (7.9)

К консервативным силам относится и сила упругости . При малых деформациях сила упругости по величине пропорциональна деформации тела х и направлена в сторону, противоположную направлению деформации (см. §5.2). Проекцию силы упругости на направление деформации можно представить как , где k - положительная постоянная. Элементарная работа силы упругости при бесконечно малом изменении деформации тела dx равна . Работа силы упругости при конечном изменении деформации от x₁ до x₂:

. (7.10)

Работа консервативной силы определяется изменением взаимного расположения взаимодействующих тел. Следовательно, ее можно связать с изменением некоторой функции, описывающей конфигурацию системы тел и зависящей от их координат. Такая функция называется потенциальной энергией. Потенциальная энергия Е_р – скалярная функция, характеризующая взаимодействие и взаимное расположение тел системы, заданная таким образом, чтобы ее изменение при изменении конфигурации системы из состояния 1 в состояние 2, было равно по величине и противоположно по знаку работе А₁₂, совершенной при этом консервативной силой: . Иными словами, работа консервативной силы равна уменьшению потенциальной энергии:

. (7.11)

В дифференциальной форме:

. (7.12)

Обратите внимание, что элементарная работа консервативной силы является полным дифференциалом.

Из формулы (7.11) следует, что работа консервативной силы при перемещении тела по замкнутой траектории равна нулю. Из формул (7.11) и (7.12) также следует, что физический смысл имеет изменение потенциальной энергии, а не ее значение для какой-либо конфигурации системы тел. Поэтому, в общем случае, потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной С, не влияющей на величину разности . В связи с этим в каждой конкретной задаче выбирается какое-либо определенное значение постоянной С (в большинстве случаев .

Сопоставляя определение потенциальной энергии (7.11) и выражения для работы различных консервативных сил (7.8), (7.9) и (7.10), легко увидеть, что потенциальная энергия материальной точки массы m в центральном гравитационном поле, созданном материальной точкой массы М, равна

; (7.13)

потенциальная энергия тела массы m в однородном поле силы тяжести вблизи поверхности Земли:

; (7.14)

потенциальная энергия деформированного тела:

. (7.15)

Таким образом, зная потенциальную силу, можно путем интегрирования получить выражение для потенциальной энергии. Верно и обратное – определив потенциальную энергию как функцию координат, можно найти потенциальную силу для любой конфигурации системы. Убедимся в этом. Элементарная работа потенциальной силы при бесконечно малом перемещении по определению равна

. С другой стороны, . Поскольку потенциальная энергия является функцией координат, ее дифференциал представим в виде

.

Из равенства находим:

, , .

Мы показали, что проекция консервативной силы на координатную ось в любой точке пространства равна взятой со знаком минус частной производной потенциальной энергии по соответствующей координате. Иными словами, консервативная сила равна минус градиенту потенциальной энергии:

.¹ (7.16)

Задача 7.3. Частица движется вдоль оси Ох в некотором силовом поле, причем потенциальная энергия частицы имеет вид , где a и b – постоянные. Найдите координату х₀ точки, в которой действующая на частицу потенциальная сила имеет такую же величину, как в начале координат.

Решение

Определим зависимость величины потенциальной силы F от координаты x. Согласно (7.16)

, , ;

.

Находим координату x₀:

.