§ 7.1. Работа и мощность

Рассмотрим движение материальной точки (или поступательное движение твердого тела) под действием силы по произвольной траектории L (рис. 7.1). Элементарной работой силы при элементарном перемещении материальной точки называется величина, равная

, (7.1)

где - проекция силы на направление перемещения¹. Сумма (интеграл) элементарных работ при конечном перемещении по траектории называется работой А силы по перемещению материальной точки:

. (7.2)

В системе единиц СИ работа измеряется в джоулях¹ (Дж). 1 Дж = 1 Нм=

= 1 кгм²/с².

Из определения (7.2) следует, что работа численно равна площади под графиком зависимости . Также легко видеть, что знакомая Вам из школьного курса физики формула (где F – величина силы, s – пройденный путь,  - угол между векторами силы и перемещения) получается из (7.2) при условии, что движение происходит по прямой линии под действием постоянной силы.

Быстроту, с которой совершается работа, характеризует механическая мощность (или просто мощность ). Средней мощностью P_ср за промежуток времени t называется скалярная величина, численно равная отношению работы А, совершенной за данный промежуток времени, к его длительности:

. (7.3)

Мощностью (мгновенной) P называется отношение элементарной работы , совершенной за малый промежуток времени dt, к длительности этого промежутка:

. (7.4)

Мощность, развиваемую силой при перемещении материальной точки со скоростью можно найти как

,

. (7.5)

В СИ мощность измеряется в ваттах² (Вт). 1 Вт = 1 Дж/с = 1 кгм²/с³.

Рис. 7.2

Задача 7.1. Небольшое тело массы m медленно втащили на горку, действуя силой , которая в каждой точке направлена по касательной к траектории, как показано на рисунке 7.2. Найдите работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания s, коэффициент трения .

Решение

Свяжем с телом декартову систему координат ( ), ось которой направим по касательной к траектории в точке, где находится тело (см. рис. 7.2). По условию задачи тело втаскивают на горку медленно, т.е. его ускорение можно считать равным нулю. С учетом этого уравнение второго закона Ньютона для тела будет иметь вид . Перейдем к проекциям на оси и .

: , : .

Учитывая, что , получим:

,

где dl – величина малого перемещения тела вдоль траектории. Элементарная работа силы на перемещении равна

.

Находим работу А, совершенную при втаскивании тела на горку:

.

Рис. 7.3

Задача 7.2. Тело массы m бросили под углом ₀ к горизонту с начальной скоростью v₀. Найдите мгновенную мощность силы тяжести, действующей на тело, как функцию времени.

Решение

Поскольку во время полета на тело действует только сила тяжести, его движение является равноускоренным с ускорением (см. рис. 7.3). Скорость тела зависит от времени по закону . Соответствующая зависимость проекции скорости тела на ось Оу: . Сила тяжести . Ее мгновенная мощность

.