§ 6.2. Закон сохранения импульса

Рассмотрим изолированную (или замкнутую) систему тел, т.е. систему, в которой тела взаимодействуют только между собой. Пусть импульс системы равен . Поскольку на тела изолированной системы внешние силы не действуют по определению, главный вектор внешних сил будет тождественно равен нулю: . Следовательно, согласно уравнению (6.4)

.

Таким образом, мы «вывели» закон сохранения импульса: импульс изолированной системы тел остается неизменным (сохраняется).

Почему «вывели» стоит в кавычках? Дело в том, что сформулированный выше закон сохранения импульса является постулатом, т.е. не нуждается в теоретическом обосновании. Он является обобщением большого числа экспериментальных данных, и до сих пор ни одного случая нарушения этого закона не зафиксировано. Мы «вывели» этот закон исходя из основного уравнения динамики материальных точек, являющегося следствием законов Ньютона, которые, в свою очередь, постулировались. Смысл приведенного «вывода» закона сохранения импульса в том, что положенные нами в основу построения теории движения тел постулаты не противоречат друг другу.

Системы тел, которые можно было бы считать изолированными, встречаются редко. Как правило, на тела системы действуют внешние силы, однако, очевидно, что импульс неизолированной системы остается неизменным, если главный вектор внешних сил равен нулю.

Рис. 6.3

Задача 6.2. Два тела массами m₁ и m₂ скользят по гладкой горизонтальной поверхности со скоростями v₁ и v₂, соответственно. Угол между векторами скоростей тел равен  (см. рис. 6.3). Определить величину скорости тел v₃ после их абсолютно неупругого соударения¹.

Решение

Сумма внешних сил (тяжести и нормальной реакции опоры), действующих на каждое из двух тел, равна нулю, следовательно, импульс системы тел при соударении сохраняется: , где , , . Сложив векторы импульсов по правилу параллелограмма, при помощи теоремы косинусов находим:

.

Величина скорости шаров после соударения

.

Если главный вектор внешних сил системы тел не равен нулю, то остается неизменной проекция импульса системы на координатную ось, нормальную вектору . Действительно, если , то

.

Задача 6.3. В платформу с песком, стоящую на горизонтальных рельсах, попадает снаряд, летящий горизонтально со скоростью v₁=300 м/с под углом к направлению рельсов, и застревает в ней (см. рис. 6.4). Отношение массы платформы M к массе снаряда m равно 29. С какой скоростью v начнет двигаться платформа?

Рис. 6.4.

Решение

В данном случае сохраняется сумма проекций импульсов снаряда и платформы на ось Ох. Имеем:

,

(м/с).

§ 6.3. Реактивное движение

Одним из важных примеров проявления и практического использования закона сохранения импульса является реактивное движение. Движение тела называется реактивным, если оно происходит за счет непрерывного или периодического отделения от тела каких-либо его частей, которые движутся относительно тела с некоторой скоростью. Реактивное движение встречается в живой природе (таким образом движутся, например, кальмары, медузы, личинки стрекоз) и широко используется в технике. Благодаря реактивной тяге движутся водометные катера, самолеты, ракеты.

Ракета движется за счет того, что выбрасывает из сопел двигателя раскаленные газы, являющиеся продуктом окисления (сгорания) ракетного топлива. Запас топлива и окислителя ракета несет с собой. Следовательно, масса ракеты в процессе полета непрерывно уменьшается. В лекции, посвященной основным законам динамики, упоминалось, что второй закон Ньютона в традиционной форме неприменим к телам переменной массы. Попытаемся модифицировать его и сделать пригодным для описания реактивного движения.

Рассмотрим ракету массы m, движущуюся со скоростью в некоторой инерциальной системе отсчета. Обозначим равнодействующую приложенных к ракете внешних сил . Пусть за малое время dt двигатель ракеты выбрасывает раскаленные газы массы dm_г со скоростью относительно ракеты, в результате чего скорость ракеты изменяется на . Изменение массы ракеты за время dt составит . Согласно основному закону динамики поступательного движения системы тел (6.4) изменение импульса системы ракета – газы за время dt равно . С другой стороны,

¹.

;

. (6.8)

Уравнение (6.8) называется уравнением Мещерского². Второе слагаемое в правой части уравнения Мещерского называется реактивной силой :

. (6.9)

Обратите внимание, что вектор направлен противоположно вектору скорости реактивных газов , поскольку .

Задача 6.4. Ракета удерживается в воздухе на постоянной высоте, выбрасывая вертикально вниз струю газа со скоростью м/с. Какое время ракета может оставаться в состоянии покоя, если начальная масса топлива в два раза больше массы ракеты без топлива?

Решение

Для неподвижной относительно Земли ракеты уравнение Мещерского (6.8) будет иметь вид

.

Перейдем к уравнению в проекциях на ось Оy (см. рис. 6.5):

Рис. 6.5

.

Проинтегрируем обе части полученного равенства:

,

где m₀ – масса ракеты с топливом в начальный момент времени. Ракета начнет падать, когда выгорит все топливо. Согласно условию задачи в этот момент мгновенная масса ракеты будет равна . Находим максимальное время t_max, в течение которого ракета может находиться в состоянии покоя:

(с).

Из уравнения Мещерского следует, что ракета, обладающая достаточным запасом топлива, может, теоретически, разогнаться до любой сколь угодно большой скорости. Однако на практике скорость истечения газовой струи из сопла реактивного двигателя обычно не превосходит 2000 м/с, что сильно затрудняет достижение космических скоростей. Проблема заключается в том, что чем бóльшую конечную скорость требуется развить, тем бóльшую часть стартовой массы ракеты должно сосоставлять топливо и меньшую – полезная нагрузка.

Найдем максимальную скорость v_max, которую может развить ракета со стартовой массой m₀ при массе полезной нагрузки m_п и скорости истечения реактивной струи u. Будем считать, что равнодействующая внешних сил, приложенных к ракете, равна нулю. Согласно уравнению Мещерского . Перейдем к уравнению в проекциях на направление скорости ракеты :

.

Учитывая, что в начальный момент времени масса ракеты и скорость , проинтегрируем последнее равенство и найдем зависимость мгновенной скорости ракеты от ее мгновенной массы:

.

Максимальная скорость будет достигнута ракетой в момент, когда закончится топливо, т.е. когда . Имеем:

. (6.10)

Формула (6.10) носит имя выдающегося русского мыслителя К.Э.Циолковского¹, получившего ее в 1903 г.

Задача 6.5. Оцените стартовую массу m₀ ракеты, которая должна разогнаться до третьей космической скорости км/с при скорости реактивной струи км/с и полезной нагрузке т.

Решение

Воспользуемся формулой Циолковского (6.10):

(т).

Следует отметить, что в массу полезной нагрузки ракеты в формуле (6.10) включается масса двигателей, топливных баков, трубопроводов и т.п. Для уменьшения такой «бесполезной» полезной массы К.Э.Циолковский предложил использовать многоступенчатые ракеты, в которых опустевшие топливные баки и отработавшие двигатели отделяются от головной части.

Рис. 7.1

Лекция 7. Работа и механическая энергия