§ 6.1. Основное уравнение динамики системы материальных точек

Импульсом тела¹ называется векторная величина, равная произведению массы тела m на его скорость : .

Импульсом системы тел называется геометрическая сумма импульсов всех тел системы:

. (6.1)

В третьей лекции, посвященной законам Ньютона, Вы познакомились с основным уравнением динамики материальной точки:

, (6.2)

где - равнодействующая приложенных к материальной точке сил. Выведем теперь уравнение, подобное (6.2), но описывающее изменение импульса системы тел.

Рис. 6.1

Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих тел, обладающих в некоторый момент времени импульсами (см. рис. 6.1). Обозначим силу, действующую на i-е тело системы со стороны k-го тела. Равнодействующую внешних по отношению к системе сил, приложенных к i-му телу, обозначим . Запишем уравнение (6.2) для каждого тела системы:

,

,

…………………….

.

Сложим полученные уравнения почленно:

. (6.3)

Левая часть уравнения (6.3) представляет собой производную по времени импульса системы :

.

Первое слагаемое в правой части уравнения (6.3) является суммой всех сил, с которыми действуют друг на друга все тела системы. Эту сумму можно перегруппировать и записать в виде

.

Согласно третьему закону Ньютона два тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению, т.е. . Следовательно, каждая скобка в правой части предыдущего равенства равна нулю и . Второе слагаемое в правой части уравнения (6.3) – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на все тела системы, - называется главным вектором внешних сил . Таким образом, мы можем записать:

. (6.4)

Дифференциальное уравнение (6.4) называется основным уравнением динамики системы материальных точек (или поступательно движущихся твердых тел).

Одним из важных следствий уравнения (6.4) является теорема о движении центра масс системы материальных точек. Сформулируем и докажем эту теорему. Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек массами , имеющих в некоторой инерциальной системе отсчета скорости , соответственно. Положение материальных точек системы в пространстве зададим посредством их радиус-векторов .

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется точка пространства, радиус-вектор которой определяется как

. (6.5)

Данное определение остается справедливым и для центра масс системы твердых тел, если под понимать радиус-вектор центра масс i-го тела. Из определения (6.5) следует, что координату центра масс по любой оси (например, Ох) можно найти как

. (6.6)

Обратите внимание, что центр масс системы не является материальным объектом! Это просто точка в пространстве.

Теорема о движении центра масс: центр масс системы тел движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна суммарной массе системы, под действием геометрической суммы всех внешних сил, приложенных ко всем телам системы.

Для доказательства теоремы будем считать, что центр масс системы является материальной точкой массы . Введем понятия скорости центра масс и импульса центра масс . Имеем:

.

Таким образом, импульс материальной точки, имеющей массу, равную суммарной массе системы, и помещенной в центр масс системы, равен импульсу всей системы: . Следовательно, согласно (6.4)

, (6.7)

т.е. движение центра масс описывается таким же уравнением, что и движение реальной материальной точки, к которой приложена геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на все тела системы. Что и требовалось доказать.

Рис. 6.2

Задача 6.1. Система состоит из трех шаров с массами кг, кг, кг, которые движутся так, как показано на рисунке 6.2. Скорости шаров м/с, м/с, м/с. Определите направление и величину скорости центра масс этой системы.

Решение

Запишем импульсы шаров, используя орты и : , , . Импульс центра масс равен импульсу системы, т.е. (кгм/с). Скорость центра масс

(м/с).

Таким образом, скорость центра масс системы шаров направлена противоположно оси Оу, ее величина м/с.