§ 4.3 Сила тяжести

Рассмотрим притяжение тел к Земле. Согласно (4.1) сила тяготения к Земле, действующая на тело (материальную точку) массы m, находящуюся на земной поверхности, численно равна

, (4.5)

где М – масса Земли, R – расстояние от тела до центра Земли.

Сила тяготения вызывает два вида движения тел: во-первых, тело, лишенное опоры, падает на Землю; во-вторых, тело вместе с точкой поверхности Земли, на которой оно находится, участвует в суточном вращении Земли, т.е. движется по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения Земли. В этой связи силу удобно разложить на две составляющие: силу тяжести и центростремительную силу , как показано на рисунке 4.4.

Величина центростремительной силы зависит от географической широты , на которой находится тело. Действительно, по второму закону Ньютона , где центростремительное ускорение тела . Полагая Землю шаром радиуса м и принимая период ее суточного вращения равным Т=24 ч = 8,6410⁴ с, находим, что а_Ц изменяется от 0 на полюсах ( = 90⁰) до м/с² на экваторе ( = 0).

Сила тяжести , вызывающая падение незакрепленных тел на Землю, может быть найдена как . Очевидно, что величина силы тяжести зависит от географической широты. Кроме того, везде, кроме полюсов и экватора, вектор не перпендикулярен поверхности Земли. Численное значение силы тяжести будет максимальным на полюсах, где :

,

и минимальным на экваторе, где векторы и сонаправлены:

. (4.6)

Поскольку м/с² >> , то при решении большинства практических задач отличием силы тяжести от силы тяготения можно пренебречь и считать, что по модулю она равна

(4.7)

и направлена к центру Земли.

Движение тела под действием одной только силы тяжести называется свободным падением, а ускорение , с которым движется свободно падающее тело – ускорением свободного падения. По второму закону Ньютона

. (4.8)

Пренебрегая суточным вращением Земли и воспользовавшись формулой (4.7), получим выражение для величины ускорения свободного падения g₀ на поверхности Земли:

. (4.9)

Отклонение формы Земли от шарообразной и влияние суточного вращения приводят к тому, что g₀ зависит от географической широты, изменяясь от 9,83 м/с² на полюсах до 9,78 м/с² на экваторе. Для расчетов, как правило, берут значение g₀  9,81 м/с², которое соответствует широте 45⁰ и называется нормальным ускорением свободного падения.

Из формулы (4.9) следует, что ускорение свободного падения в данной точке земной поверхности не зависит ни от массы, ни от размеров или формы тела. Наблюдаемые различия в ускорениях, с которыми падают различные тела, обусловлено действием на них силы сопротивления воздуха. В безвоздушном пространстве все тела падали бы с одинаковым ускорением g₀. Также из (4.9) следует, что ускорение свободного падения на поверхности различных планет будет отличаться от земного, поскольку каждая планета имеет свои «индивидуальные» значения массы и радиуса. Проиллюстрируем это утверждение несложной задачей.

Задача 4.1. Зная, что радиус Марса примерно в 2 раза меньше радиуса Земли, а его масса примерно в 10 раз меньше массы Земли, оцените ускорение свободного падения на этой планете.

Решение

Согласно (4.7) величины ускорений свободного падения на поверхности Земли g_З и Марса g_M можно представить как

и .

Поделим второе выражение на первое, учтем, что по условию задачи , , и возьмем g_З  9,81 м/с². Имеем:

 м/с².

В случае, когда тело находится на высоте h над поверхностью Земли, оно будет притягиваться к ней силой, численно равной

. (4.10)

Следовательно, величину ускорения свободного падения на высоте h можно найти как

. (4.11)

Таким образом, по мере увеличения расстояния до поверхности Земли ускорение свободного падения уменьшается. Однако это уменьшение становится заметным лишь в случаях, когда высота h сравнима по величине с радиусом Земли R (R  6360 км), т.е. составляет хотя бы несколько десятков километров. Величина g уменьшается в два раза по сравнению с g₀ на высоте h  2634 км.