§2.2 Распределение молекул газа по скоростям

Закон распределения молекул газа, находящегося в равновесном состоянии, по скоростям был найден в 1859 году Дж. Максвеллом и носит его имя. Полагая, что величины скоростей v молекул могут принимать случайные значения в пределах , Максвелл получил функцию распределения

, (2.9)

где m₀ – масса молекулы, T – температура, k – постоянная Больцмана. Характерный вид кривой f(v) показан на рисунке 2.2.

Рис. 2.2

Площадь заштрихованной полоски на рисунке 2.2 численно равна отношению числа молекул dN, скорости которых лежат в пределах интервала (v, v+dv), к общему числу молекул N, т.е. . Число молекул N, скорости которых удовлетворяют условию , можно найти как

.

В соответствии с условием нормировки (2.7) площадь под графиком функции f(v) равна единице: .

Величина скорости, которой соответствует максимум функции распределения, называется наиболее вероятной скоростью v_вер. Выражение для v_вер можно получить из условия :

, (2.10)

где М – молярная масса газа. Выведите формулу (2.10) самостоятельно. Подставив выражение (2.10) в формулу (2.9), получим, что

f_max  . (2.11)

Таким образом, положение и величина максимума функции распределения Максвелла определяются как природой газа, так и его температурой. Для одного и того же газа по мере увеличения температуры максимум кривой f(v) согласно (2.10) смещается в сторону бóльших скоростей, а его величина согласно (2.11) уменьшается, как показано на рисунке 2.3.

Рис. 2.3

Используя формулы (2.8), можно получить выражения для средней и среднеквадратичной v_кв скоростей молекул газа:

; (2.12)

,

. (2.13)

Попробуйте получить формулы (2.13) и (2.14) самостоятельно с помощью “MATHCAD”.

Из выражений (2.10), (2.12) и (2.13) следует, что (см. рис. 2.2).

Рис. 2.4

Справедливость распределения Максвелла (2.9) неоднократно подтверждалась экспериментами. Один из таких экспериментов, признанный классическим, был поставлен в 1920 г. немецким физиком О. Штерном¹. Установка Штерна представляла собой два соосных цилиндра: внешний – сплошной, внутренний – с прорезанной по длине щелью. Вдоль оси внутреннего цилиндра была натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая нагревалась током (см. рис. 2.4). Воздух из цилиндра был откачан. При нагревании проволоки серебро испарялось. Атомы серебра вылетали через щель внутреннего цилиндра и оседали на поверхности внешнего цилиндра, создавая изображение щели О. Весь прибор приводили во вращение вокруг оси цилиндров, при этом атомы серебра попадали на внешний цилиндр не в точке О, а на некотором расстоянии s от нее, как показано на рисунке. Изображение щели получалось размытым. Зная радиусы цилиндров и угловую скорость их вращения Штерн по величине s определял скорость атомов серебра, а исследуя толщину слоя серебра для разных s – долю атомов, обладающих данной скоростью. Распределение атомов серебра по скоростям совпало с предсказанным Максвеллом.

Помимо функции распределения молекул по величине скорости (2.9) Максвелл нашел также и закон распределения молекул по значениям v_x проекций скоростей на произвольно ориентированную в пространстве координатную ось Ох:

. (2.14)

График функции приведен на рисунке 2.5.

Рис. 2.5