§ 1.2. Уравнение состояния идеального газа

Газ называется идеальным, если выполняются следующие условия: 1) молекулы газа на расстоянии не взаимодействуют, а при непосредственном контакте молекул взаимодействие между ними можно считать абсолютно упругим соударением; 2) объем, занимаемый самими молекулами, пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда, занятого газом.

Оба условия идеальности газа выполняются тем лучше, чем больше среднее расстояние между молекулами, т.е. чем меньше число молекул, находящихся в единице объема. Число молекул, находящихся в единице объема, называется концентрацией молекул n:

(1.6)

В СИ концентрация измеряется в единицах, деленных на кубический метр (1/м³ или м^-3). Газ достаточно хорошо соответствует определению идеального при концентрации м^-3.

Совокупность макроскопических величин (p, V, T), характеризующая свойства данной массы газа в некоторый момент времени, называется состоянием газа. Если при неизменных внешних условиях газ может оставаться в каком-либо состоянии сколь угодно долго, оно называется равновесным. Изменение состояния газа называется процессом. Процесс, который протекает настолько медленно, что в каждый момент времени состояние газа можно считать равновесным, называют равновесным или квазистатическим. Равновесные процессы являются обратимыми, т.е. они могут протекать как в прямом, так и в обратном направлениях, при этом в обоих направлениях газ проходит одну и ту же последовательность равновесных состояний. В дальнейшем все рассматриваемые процессы мы «по умолчанию» будем считать равновесными.

Рис. 1.3

Уравнение, связывающее между собой основные макроскопические характеристики системы – давление, температуру и объем - называется уравнением состояния.

Выведем уравнение состояния идеального газа. Для этого рассмотрим газ, заполняющий горизонтальный цилиндрический сосуд с площадью основания S (рис. 1.3). Пусть температура газа равна T, масса молекулы m₀, концентрация молекул n, среднеквадратичная скорость молекул v_кв, средняя величина проекции скорости молекул на ось Ох v_x. В предыдущей лекции было показано, что величина давления газа или жидкости не зависит от ориентации в пространстве площадки, на которую действует сила давления. Следовательно, мы можем ограничиться рассмотрением давления на какую-либо одну часть внутренней поверхности сосуда. Найдем давление газа на правое основание цилиндра.

Из основного уравнения динамики материальной точки (3.3) следует, что средняя величина силы F, действующей со стороны газа на основание цилиндра, равна , где p – модуль изменения импульса молекул газа, испытавших соударение с основанием за время t. Полагая, что соударения молекул со стенками сосуда являются абсолютно упругими, мы можем записать , где N – число соударений, - величина изменения импульса одной молекулы. За время t дойти до правого основания цилиндра могут только те молекулы, которые в начальный момент находились от него на расстоянии, не превышающем , и двигались в положительном направлении оси Ох. Таким образом, число N равно половине числа молекул, оказавшихся в цилиндре с площадью основания S и высотой , т.е. . Давление газа на основание цилиндра

.

Учтем, что все направления движения для молекул равнозначны, и, следовательно, средние квадраты проекций скоростей молекул на координатные оси должны быть одинаковыми. Имеем: ; ;

или . (1.7)

Используя формулу (1.4), полученное выражение можно переписать в виде

. (1.8)

Уравнение (1.8) и есть искомое уравнение состояния, которое называют также основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Задача 1.2. Идеальный газ массы m = 5 г находится в сосуде объемом V = 3 л под давлением 500 кПа. Определите среднеквадратичную скорость v_кв молекул газа.

Решение

Обозначим концентрацию молекул газа в сосуде n, общее число молекул N, массу одной молекулы m₀. Воспользуемся первой из формул (1.7):

(м/с).

Задача 1.3. В баллоне вместимостью V = 10 л находится газ при температуре T = 300 К. Вследствие утечки газа давление в баллоне снизилось на 4,2 кПа. Сколько молекул вышло из баллона?

Решение

Обозначим давление, концентрацию и число молекул в баллоне в начальный момент p₁, n₁ и N₁, в конечный момент – р₂, n₂ и N₂. Используя формулу (1.6) и основное уравнение МКТ идеального газа (1.8) и учитывая, что Па, находим число молекул N, вышедших из баллона:

,

.

Приведем уравнение состояния идеального газа (1.8) к виду, в котором фигурирует количество вещества :

или . (1.9)

Выражения (1.9) являются различными формами записи одного и того же уравнения состояния, называемого уравнением Клапейрона¹-Менделеева². Если количество вещества газа остается постоянным, можно получить следующее полезное соотношение:

при (1.10)

Уравнение состояния идеального газа, записанное в форме (1.10), называется уравнением Клапейрона.

Задача 1.4. Найти максимально возможную температуру идеального газа в процессе, в котором зависимость давления одного моля газа р от занимаемого объема V имеет вид , где р₀ и а – положительные постоянные.

Решение

Используя зависимость , исключим давление из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.9) и выразим температуру газа Т через объем: . Исследуем полученное выражение на экстремумы:

.

Легко убедиться, что при найденном значении объема температура газа максимальна. Найдем ее:

.

Задача 1.5. Идеальный газ расширяется по закону , где b – положительная постоянная. Как изменится температура газа, если его объем увеличится в 4 раза?

Решение

Обозначим давление, объем и температуру газа в начальном состоянии p₁, V₁, T₁, в конечном – p₂, V₂, T₂. По условию задачи . Поскольку , то , отсюда . Согласно уравнению Клапейрона (1.10)

Итак, температура увеличилась в два раза.

Исторически уравнения Клапейрона (1.10) и Клапейрона-Менделеева (1.9) были получены в результате обобщения ряда газовых законов, открытых экспериментально на протяжении XVII – первой половины XIX веков. Прежде всего, это знакомые Вам по школьному курсу физики законы, описывающие изопроцессы (т.е. процессы, протекающие при неизменном количестве вещества и постоянном давлении, объеме или температуре).

Рис. 1.4 Рис. 1.5 Рис. 1.6

Изотермический процесс. Процесс изменения состояния макроскопической системой называется изотермическим, если он протекает при постоянной температуре. Закон, описывающий изотермический процесс в идеальном газе носит название закона Бойля¹-Мариотта²: для газа неизменной массы при неизменной температуре произведение давления на объем является постоянной величиной:

при . (1.11)

Из уравнения (1.11) видно, что при постоянной температуре давление газа обратно пропорционально его объему. Поэтому изотерма (т.е. зависимости при ) в координатах (p,V) будет изображаться гиперболой (рис. 1.4).

Изобарный процесс. Процесс изменения состояния макроскопической системы называется изобарным (или изобарическим), если он происходит при постоянном давлении. Закон, описывающий изобарный процесс в идеальном газе носит имя Гей-Люссака³: при неизменной массе газа и постоянном давлении отношение объема к температуре есть величина постоянная:

при . (1.12)

Из уравнения (1.12) следует, что при постоянном давлении объем газа прямо пропорционален его температуре: . Графически эта зависимость изображается прямой, называемой изобарой (рис. 1.5).

Изохорный процесс. Изохорным (или изохорическим) называется процесс изменения состояния макросистемы, протекающий при постоянном объеме. Закон, описывающий изменение состояния идеального газа в изохорном процессе был открыт французским физиком Ж.Шарлем¹ и носит его имя. Закон Шарля: при неизменной массе газа и постоянном объеме отношение давления к температуре есть величина постоянная:

при . (1.13)

Из уравнения (1.13) следует, что при неизменном объеме давление газа прямо пропорционально его температуре: . Соответствующая зависимость графически изображается прямой, называемой изохорой (рис. 1.6).

Сформулируем еще три закона, описывающие свойства идеальных газов.

Закон Авогадро: в равных объемах любых газов при одинаковых условиях содержится одно и то же число молекул.

Закон Дальтона²: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов, входящих в ее состав. (Парциальным называется давление, которое производил бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре).

Закон Лошмидта³: в 1 см³ любого идеального газа при нормальных условиях содержится одинаковое число молекул (число Лошмидта), равное см^-3.

Легко убедиться, что все приведенные выше экспериментальные газовые законы можно вывести из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.9). Проделайте это самостоятельно в качестве упражнения.

Лекция 2. Элементы статистической физики