§ 6.3. Внутреннее трение

Внутреннее (вязкое) трение действует между параллельными слоями вязкой жидкости (или газа), движущимися с различными скоростями (см. § 11.3). Внутреннее трение возникает вследствие того, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между соседними слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а движущегося медленнее – увеличивается. Иными словами, внутреннее трение представляет собой процесс переноса импульса в направлении уменьшения скорости течения жидкости.

Пусть величина скорости течения жидкости v изменяется в направлении оси Ох ( ). Сила F вязкого трения, действующая между соседними слоями, площадь контакта между которыми равна S, может быть найдена по закону Ньютона (11.9) как

, (6.7)

где  - динамическая вязкость (или коэффициент вязкости, или просто вязкость; единица измерения в СИ - Пас). Согласно основному уравнению динамики поступательного движения (3.3) приращение импульса более медленного слоя . Таким образом, от быстрого слоя к медленному переносится импульс, величина плотности потока которого равна

. (6.8)

Знак минус в уравнении (6.8) показывает, что перенос импульса происходит в направлении уменьшения v. В общем случае, когда , закон внутреннего трения Ньютона имеет вид

. (6.9)

Рис. 6.3

Получим выражение для вязкости идеального газа , аналогичное (6.6). Пусть . Рассмотрим перенос импульса через плоскую площадку S, ориентированную нормально оси Ох (рис. 6.3). За одну секунду через площадку S слева направо и справа налево переносится одинаковое число молекул . Импульс упорядоченного движения одной молекулы слева от площадки равен , а справа . Таким образом, за секунду через площадку S переносится импульс

.

Сопоставив полученное равенство с законом Ньютона (6.8), получаем искомое выражение для вязкости идеального газа:

. (6.10)

Задача 6.2. При некоторых условиях коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота равны 1,410^-4 м²/с и 8,510^-6 Пас, соответственно. Определите концентрацию молекул азота при этих условиях.

Решение

Из формул (6.6) и (6.10) следует, что плотность газа . Концентрация , где кг/моль – молярная масса азота. Имеем:

(м^-3).

§ 6.4. Теплопроводность

Рассмотрим ситуацию, когда соседние области макросистемы имеют различную температуру. На микроскопическом уровне это означает, что молекулы, находящиеся в данных областях, обладают различной средней кинетической энергией. С течением времени в результате постоянных столкновений между молекулами происходит процесс выравнивания их средних кинетических энергий, т.е. выравнивание температур. Иными словами, в случае, когда температура является функцией координат, возникает поток кинетической энергии теплового движения молекул (тепловой поток) в направлении убывания температуры.

Плотность теплового потока , численно равная энергии, переносимой в форме теплоты за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса, может быть найдена по закону Фурье¹:

, (6.11)

где  - теплопроводность (или коэффициент теплопроводности; единица измерения в СИ – Дж/(мсК)). При одномерной теплопроводности, когда , закон Фурье записывают в форме

. (6.12)

Рис. 6.4

Найдем выражение для , аналогичное (6.6) и (6.10), в случае одномерной теплопроводности в идеальном газе. Рассмотрим перенос кинетической энергии хаотического теплового движения молекул через плоскую площадку S, ориентированную нормально оси Ох (см. рис. 6.4). За секунду в обоих направлениях оси Ох через площадку переносится одинаковое число молекул . Средняя энергия теплового движения молекул слева от площадки равна , а справа от площадки - , где i – число степеней свободы молекулы. За одну секунду через площадку переносится теплота , где - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Плотность потока теплоты

.

Сопоставив полученное равенство с законом Фурье (6.12), получим:

. (6.13)

В заключение отметим, что коэффициенты переноса D,  и  не являются независимыми, поскольку из формул (6.6), (6.10) и (6.13) следуют простые соотношения между ними:

и ,

используя которые можно по найденному из эксперимента значению одного из коэффициентов рассчитать два остальных.

Задача 6.3. Стержень длины l изготовлен из материала, теплопроводность которого зависит от температуры по закону , где а – константа. Боковая поверхность стержня теплоизолирована. Температуры торцов стержня – Т₁ и Т₂. Определите зависимость T(x), где х - расстояние от торца с температурой T₁.

Решение

Согласно закону Фурье (6.12) . Поскольку потери теплоты через боковую поверхность отсутствуют, плотность потока теплоты через все сечения стержня одинакова, а значит

,

где С – константа. Разделим в полученном уравнении переменные и проинтегрируем обе части:

, .

Константу С определим из условия . Имеем:

.

Находим зависимость T(x):

.