2.7. Ранг матрицы

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначается rangA или r(A).

Из определения следует:

1. Ранг матрицы А не превосходит меньшего из ее размеров.

2. r(А)=0 тогда и только тогда , когда все элементы матрицы равны 0.

3. Для квадратной матрицы n-ого порядка r(А)=n, тогда и только , когда матрица А – невырожденная.

Пример.

Найти ранг матрицы

А=

Решение:

Все миноры 3-ого порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля =-15 . Значит, ранг данной матрицы равен двум (rang А=2)

Ответ: r(А)=2

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример.

Найти ранг матрицы путем элементарных преобразований

А=

Решение:

~ ~ ~ ~

~ ~ ~

Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (rang A=2).

Ответ: r(A)=2

Свойства ранга матрицы

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

3.Системы линейных уравнений

3.1. Основные понятия

При помощи матриц очень удобно записывать произвольные системы первой степени (линейные системы). Рассмотрим произвольную линейную систему из m уравнений с n неизвестными.

(1)

Если m=n, то будем называть систему квадратной n-го порядка, если m<n - укороченной (с такими системами встречаются в экономике), при m>n - удлиненной (такие системы встречаются в геодезии).

3.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Представим систему линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде. Пусть

А – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных (её называют основной матрицей системы),

Х – матрица-столбец неизвестных

В – матрица-столбец свободных членов.

Тогда систему (1) можно записать при помощи этих матриц следующим образом:

A× Х=В (2)

Действительно,

Уравнение (2) равносильно системе (1).

Матричная запись системы (1) аналогична записи уравнения с одним неизвестным ax=b, решением которого при будет . Естественно поставить аналогичный вопрос для решения матричного уравнения A × Х=В.

Если матрица А – невырожденная, т.е. detA ≠ 0 и А имеет единственную обратную матрицу А^-1, то Х = А^-1 В – решение системы уравнений (1).

Пример.

Решите систему матричным методом

Решение:

Ответ: (1; 1; 1)

3.3. Решение систем линейных уравнение по формулам Крамера

Теорема. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам:

Х₁= , X₂ = ,…, x_n= _, где

D – определитель системы

D_n – определитель, который получается из определителя системы путем замены только n-го столбца столбцом свободных коэффициентов системы.

Рассматривают различные случаи:

1. Система является совместной и определённой, если её определитель D≠0.

2. Система является совместной, но неопределённой, если все её определители равны нулю:

D = D₁ = D₂ =…= D_n = 0

3.Система несовместна, если только определитель системы D=0

Пример.

Решите систему по формулам Крамера

Решение:

Определитель системы вычислим по правилу треугольников

D= = 42+36+2-(-21+36-4) = 69 ≠ 0

D_1, D₂, D₃ вычислим по формуле Лапласа.

D₁= = (определитель разложим по первому столбцу)

=19 ∙ - 30 ∙ - 1 ∙ = 19∙(42+4)-30∙(18-1)-1∙(12+7) = 19∙46-30∙17-19 = 345

D₂ = = (разложим по второму столбцу)

= -19 ∙ +30 ∙ +1·∙ = -19∙(12-12)+30∙(6+3)+(4+2) = 30·9+6 = 276

D₃= = (разложим по третьему столбцу)

= 19 ∙ - 30 ∙ -1 ∙ = 19∙23)-30∙10)-1·1 = -138

Тогда

х₁= =5

х₂= =4

х₃= = -2

Ответ: (5; 4; -2).