1. Матрицы
1.1. Основные понятия
Матрицей
размера m
n
называется прямоугольная таблица чисел,
содержащая m
строк одинаковой длины (или n
столбцов одинаковой длины).
Матрицы обозначают большими латинскими буквами А, В, С, D …
При этом пишут A=(aij).
Числа aij ( i=1, …, m, j=1…n) называются элементами матрицы А.
Матрица размером
3
2 имеет ид
Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.
Всего в матрице m n м имеется mn элементов.
Главной диагональю в матрице n-ого порядка называется линия, соединяющая элементы с одинаковыми индексами.
Побочной диагональю в матрице n-ого порядка называется линия, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
1.2. Классификация матриц
1. Матрицы называются равными при совпадении у них соответствующих элементов и обозначаются А=В.
2. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной. Квадратную матрицу размера n n называют матрицей n–го порядка.
3. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
4. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.
5. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю.
При этом выделяются два типа треугольных матриц:
1)
- нижнетреугольная матрица.
2)
- верхнетреугольная матрица.
6. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О.
7. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор – столбец, или вектор - строка).
8. Матрица Ат называется транспонированной к А, если в матрице А строки заменены на столбцы соответствующих номеров.
9. Матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие
10. Матрицы называются одноименными, если они имеют одинаковый размер.
1.3. Элементарные преобразования матриц
1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.
2. Умножение всех элементов ряда матрицы на число отличное от нуля.
3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
Две матрицы А и В
называются эквивалентными,
если одна из них получается из другой
с помощью элементарных преобразований
и обозначается А ~ В.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической.
1.4. Действия над матрицами
Сумма матриц определена для 2-х одноименных матриц.
Суммой 2-х матриц
одинакового размера
и В=(вij)
называется матрица С=
,
где
.
При этом пишут С=А+В
Аналогично определяется разность матриц, А - В.
Пример.
Найти
А + В, если А=
,
В=
Решение:
А + В=С
Ответ:
С=
Произведением
матрицы
на число
R
называется новая матрица
∙А
определяемая формулой
или
=
Пример.
Найти А∙ , если
Решение:
Ответ:
С=
Операция сложения матриц и умножение матрицы на число обладают следующими свойствами:
А, В, С – матрицы, α и β – числа.
А+В=В+А 5. 1·А=А
А+(В+С)=(А+В)+С 6. α·(А+В)= αА+ αВ
А+О=А 7. (α+β)·А= αА+ βА
А-А=0 8. α·(βА)=( αβ)·А,
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Такие матрицы называются согласованными (n m и m k).
Произведением
2-х согласованных матриц
и
называется матрица
размера n
k,
элементы которой вычисляются по формуле:
C
=a
∙b
+a
∙b
+….+a
b
+…..+a
∙b
Таким образом,
элементом новой матрицы является
,
который равен сумме произведений
элементов
строки первой матрицы на соответствующие
элементы
столбца второй матрицы.
Возможно умножение матрицы на вектор-столбец справа и на вектор-строку слева.
Примеры.
1. Найти произведение А∙В матриц, если
А=
Решение:
С=А∙В
Ответ: С=
2. Найти произведение А∙В матриц, если
А=
В=
Решение:
(9 2 3) ∙
=
(9∙3+2∙(-4)+3∙1; 9∙2+2∙0+3∙7; 9∙1+2∙5+3∙2;
9∙4+2∙6+3∙1=(22 29 25 51)
Ответ: С=(22 29 25 51)
3. Найти произведение А∙В матриц, если
Решение:
С=А∙В
∙
=
=
Ответ: С=
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. А × О = О 4. α (АВ) = (αА) В = А × (αВ)
2. А × Е = А 5. АВС = (АВ) С = А (ВС)
3. А × В ≠ В А 6. А × (В + С) = АВ + АС,